القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
أنبوب بيتو استاتيكي في نفق رياح يقرأ فرقًا مقداره 150 Pa بين ضغط الركود والضغط الاستاتيكي. كثافة الهواء 1,2 kg/m³. أوجد سرعة الهواء v.
p0 − p = 150 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 100 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 10 m. في المقطع 1 الضغط 300 kPa والسرعة 0,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 300 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2 m/s في أنبوب أفقي طوله 800 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 60 L/s؟
Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 66 m بينما يأخذ عمودها 7,6 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 10 L/sH = 66 mPshaft = 7,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 8 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2,5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 2,5ptank = 150 kPa
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة طوب عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,1 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 2,5 my = 1,1 mz = 2n = 0,015S = 0,0005
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 200 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 485,6 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN
الإجابة
F = 485,6 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 184,5 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,75·4,5 = 184,5 kN
الإجابة
F = 184,5 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: v = 15,81 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي حتى نقطة الركود
يتوقّف الجريان عند الطرف، فتظهر طاقته الحركية ضغطًا إضافيًا.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·150/1,2) = 15,81 m/s
الإجابة
v = 15,81 m/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 197,7 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−4,219) − 98,1 = 197,7 kPa
الإجابة
p2 = 197,7 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 469,3 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,075)·2²/(2·9,81) = 47,84 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·47,84 = 469333 Pa = 469,3 kPa
الإجابة
Δp = 469,3 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 17,45 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,022·150/0,15 = 22
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
فاقد السمت الكلي
hf = 22·0,5876 = 12,93 m
hm = 7,7·0,5876 = 4,524 m
Δz = hf + hm = 17,45 m
الإجابة
Δz = 17,45 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 85,19 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·66 = 6,475 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 6,475/7,6 = 85,19%
الإجابة
η = 85,19%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 35,19 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 2,5)·0,408 = 11,9 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 15,29 + 11,9 = 35,19 m
الإجابة
H = 35,19 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 6,058 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·1,1)·1,1 = 5,17 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 7,419 m
R = A/P = 0,6968 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,015)·0,69682/3·0,00051/2 = 1,172 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 5,17·1,172 = 6,058 m³/s
الإجابة
Q = 6,058 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,01321 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1357)² = 0,01321
الإجابة
S = 0,01321
هذا انخفاض قدره 13,21 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering