القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 20 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 4 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,61. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 4 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 200 mm إلى 75 mm بينما يرتفع 1 m. في المقطع 1 الضغط 250 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1 m/s في أنبوب أفقي طوله 800 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 1 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 25 L/s؟
Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 25 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 12 m. كفاءة المضخة 60% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 95%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 25 L/sH = 12 mηpump = 60%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 600 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 78%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 5,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,7 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 5,5 my = 0,7 mz = 1,5n = 0,022S = 0,0005
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 3,5 m يجب أن تنقل 2,6 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,6 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 2,6 m³/sb = 3,5 my = 0,6 mn = 0,03
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 264,9 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN
الإجابة
F = 264,9 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 3,25 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·9 = 233,1 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m
الإجابة
ycp = 3,25 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 1,698 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,0003142·8,859 = 0,001698 m³/s = 1,698 L/s
الإجابة
Q = 1,698 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 234 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(200/75)² = 3,556 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 3,556²)/1000 = −6,196 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 250 + (−6,196) − 9,81 = 234 kPa
الإجابة
p2 = 234 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 40 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,3)·1²/(2·9,81) = 4,077 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,077 = 40000 Pa = 40 kPa
الإجابة
Δp = 40 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 3,713 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
فاقد السمت الكلي
hf = 24·0,102 = 2,448 m
hm = 12,4·0,102 = 1,265 m
Δz = hf + hm = 3,713 m
الإجابة
Δz = 3,713 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 5,163 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·12 = 2,943 kW
قدرة العمود
Pshaft = 2,943/0,6 = 4,905 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 4,905/0,95 = 5,163 kW
الإجابة
Pel = 5,163 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 14,58 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0,2611 = 22,98 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 6 + 22,98 = 28,98 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·28,98/0,78 = 14,58 kW
الإجابة
Pshaft = 14,58 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 3,209 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·0,7)·0,7 = 4,585 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,7·√(1 + 1,5²) = 8,024 m
R = A/P = 0,5714 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,022)·0,57142/3·0,00051/2 = 0,6999 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 4,585·0,6999 = 3,209 m³/s
الإجابة
Q = 3,209 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,004039 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 3,5·0,6 = 2,1 m²
P = b + 2y = 3,5 + 2·0,6 = 4,7 m
R = A/P = 0,4468 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·2,6/(2,1·0,5845) = 0,06355
S = 0,06355² = 0,004039
الإجابة
S = 0,004039
هذا انخفاض قدره 4,039 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering