القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 75 mm. في الجزء الواسع الضغط 190 kPa والسرعة 1,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 190 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
مقياس فنتوري أفقي (المدخل 100 mm، الحلق 50 mm) ينقل الماء. مانومتر زئبقي على شكل U موصول بين المدخل والحلق يُظهر فرقًا في المستوى مقداره 180 mm. معامل التصريف 0,98. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم ρ = 1000 kg/m³ للماء، و 13 600 kg/m³ للزئبق، و g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmd2 = 50 mmΔh = 180 mmCd = 0,98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,3 m/s في أنبوب أفقي طوله 50 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2,3 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 200 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 75 L/s؟
Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 82% تدفع 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 26 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 10 L/sH = 26 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 13 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 2 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,1 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 2 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,022S = 0,004
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 200 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,9 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 208,5 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN
الإجابة
F = 208,5 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 4,373 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,25·7,5 = 394 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,25 + 3,906/(4,25·7,5) = 4,373 m
الإجابة
ycp = 4,373 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 186,7 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/75)² = 3,111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 3,111²)/1000 = −3,308 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 190 + (−3,308) = 186,7 kPa
الإجابة
p2 = 186,7 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 13,26 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
فرق الضغط من المانومتر
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,18 = 22249 Pa
سرعة الحلق
الاستمرارية وبرنولي معًا يعطيان سرعة الحلق المثالية.
β = 50/100 = 0,5
v2 = √(2·22249/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,889 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
Q = Cd·A2·v2 = 0,98·0,001963·6,889 = 0,01326 m³/s = 13,26 L/s
الإجابة
Q = 13,26 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 23,8 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,1)·2,3²/(2·9,81) = 2,427 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,427 = 23805 Pa = 23,8 kPa
الإجابة
Δp = 23,8 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 8,046 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 20 + 6,7)·0,2905 = 8,046 m
الإجابة
H = 8,046 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 3,11 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·26 = 2,551 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 2,551/0,82 = 3,11 kW
الإجابة
Pshaft = 3,11 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 30,14 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,408 = 17,14 m
سمت المضخة
السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.
H = Δz + hL = 13 + 17,14 = 30,14 m
الإجابة
H = 30,14 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 8,864 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·1,1)·1,1 = 4,015 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 5,966 m
R = A/P = 0,673 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,022)·0,6732/3·0,0041/2 = 2,208 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 4,015·2,208 = 8,864 m³/s
الإجابة
Q = 8,864 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,007432 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432
الإجابة
S = 0,007432
هذا انخفاض قدره 7,432 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering