القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 20 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 5,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,63. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 5,5 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 75 mm إلى 40 mm بينما يرتفع 3 m. في المقطع 1 الضغط 110 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 110 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بسرعة متوسطة 1,3 m/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
V = 1,3 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 0,2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 60 L/s؟
Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 72% تدفع 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 20 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 60 L/sH = 20 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 20 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 82%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 40 L/sΔz = 20 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة خرسانة مشطّبة عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,2 m. معامل مانينغ n = 0,012 وميل القاع S = 0,003. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 2,5 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,012S = 0,003
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 450 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 58,86 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN
الإجابة
F = 58,86 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 2,375 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·9 = 222,5 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 6,75/(2·9) = 2,375 m
الإجابة
ycp = 2,375 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 2,056 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,0003142·10,39 = 0,002056 m³/s = 2,056 L/s
الإجابة
Q = 2,056 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 79,15 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/40)² = 1,758 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 1,758²)/1000 = −1,42 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 110 + (−1,42) − 29,43 = 79,15 kPa
الإجابة
p2 = 79,15 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 6,432 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(200/0,075)·1,3²/(2·9,81) = 6,432 m
الإجابة
hf = 6,432 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 0,8605 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·150/0,25 = 9
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 = 1,3
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 9 + 1,3)·0,07615 = 0,8605 m
الإجابة
H = 0,8605 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 16,35 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·20 = 11,77 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 11,77/0,72 = 16,35 kW
الإجابة
Pshaft = 16,35 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 13,07 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2611 = 7,312 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 20 + 7,312 = 27,31 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·27,31/0,82 = 13,07 kW
الإجابة
Pshaft = 13,07 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 19,54 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,2)·1,2 = 5,16 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 6,827 m
R = A/P = 0,7559 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,012)·0,75592/3·0,0031/2 = 3,787 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 5,16·3,787 = 19,54 m³/s
الإجابة
Q = 19,54 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,003112 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,233)² = 0,003112
الإجابة
S = 0,003112
هذا انخفاض قدره 3,112 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering