القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 100 mm وقطر حلقه 60 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 28 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 28 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 200 mm إلى 40 mm بينما يرتفع 4 m. في المقطع 1 الضغط 370 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 200 mmd2 = 40 mmp1 = 370 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بسرعة متوسطة 1 m/s في أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
V = 1 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,018) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 50 L/s؟
Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 60 m بينما يأخذ عمودها 33,6 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 40 L/sH = 60 mPshaft = 33,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 4 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 100 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 100 kPa
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 3 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,3 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 3 my = 1,3 mz = 1,5n = 0,03S = 0,005
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 3,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 18 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,1 m. معامل مانينغ n = 0,014. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 18 m³/sb = 3,5 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,014
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 79,71 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN
الإجابة
F = 79,71 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 33,94 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,25·1,5 = 33,94 kN
الإجابة
F = 33,94 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 22,68 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الاستمرارية
v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2
برنولي بين المدخل والحلق
الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·28000/(1000·(1 − 0,1296))) = 8,021 m/s
v1 = 2,888 m/s
معدّل التدفّق
Q = A2·v2 = 0,002827·8,021 = 0,02268 m³/s = 22,68 L/s
الإجابة
Q = 22,68 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 252,8 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(200/40)² = 12,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 12,5²)/1000 = −78 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 370 + (−78) − 39,24 = 252,8 kPa
الإجابة
p2 = 252,8 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 2,039 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
سمت السرعة
V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,075)·1²/(2·9,81) = 2,039 m
الإجابة
hf = 2,039 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 1,359 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 21,6 + 3,1)·0,05288 = 1,359 m
الإجابة
H = 1,359 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 70,07 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·60 = 23,54 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 23,54/33,6 = 70,07%
الإجابة
η = 70,07%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 23,89 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 4)·0,2905 = 7,698 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 10,19 + 7,698 = 23,89 m
الإجابة
H = 23,89 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 13,47 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·1,3)·1,3 = 6,435 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,3·√(1 + 1,5²) = 7,687 m
R = A/P = 0,8371 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,03)·0,83712/3·0,0051/2 = 2,094 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 6,435·2,094 = 13,47 m³/s
الإجابة
Q = 13,47 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,002859 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·1,1)·1,1 = 5,665 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 7,466 m
R = A/P = 0,7588 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·18/(5,665·0,8319) = 0,05347
S = 0,05347² = 0,002859
الإجابة
S = 0,002859
هذا انخفاض قدره 2,859 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering