القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 50 mm. في الجزء الواسع الضغط 330 kPa والسرعة 2,25 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 330 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
فوهة نافورة متجهة إلى الأعلى مباشرةً. تحت الفوهة مباشرةً قطر أنبوب التغذية 50 mm وضغطه المقيس 90 kPa. قطر مخرج الفوهة 25 mm، وفرق الارتفاع عبر الفوهة مهمل. بإهمال الفواقد ومقاومة الهواء، أوجد الارتفاع H الذي يرتفعه النفث فوق الفوهة. استخدم g = 9,81 m/s².
d1 = 50 mmp1 = 90 kPa (مقيس)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 120 L/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 120 L/s؟
Q = 120 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 44 m. كفاءة المضخة 70% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 90%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 50 L/sH = 44 mηpump = 70%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 15 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 11 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 200 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 15 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 6ptank = 200 kPa
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 750 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
D = 750 mmn = 0,013S = 0,0008
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 200 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 353,2 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN
الإجابة
F = 353,2 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 43,16 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN
الإجابة
F = 43,16 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 292 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(100/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 330 + (−37,97) = 292 kPa
الإجابة
p2 = 292 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: H = 9,786 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة الخروج
β = 25/50 = 0,5
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9375)) = 13,86 m/s
ارتفاع النفث
برنولي على امتداد النفث: عند القمة تكون السرعة صفرًا والضغط جويًا مرة أخرى.
H = v2²/(2g) = 13,86²/(2·9,81) = 9,786 m
الإجابة
H = 9,786 m
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 4,113 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 4,113 m
الإجابة
hf = 4,113 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 12,64 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
فاقد السمت الكلي
hf = 28,8·0,3046 = 8,772 m
hm = 12,7·0,3046 = 3,868 m
Δz = hf + hm = 12,64 m
الإجابة
Δz = 12,64 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 34,26 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·44 = 21,58 kW
قدرة العمود
Pshaft = 21,58/0,7 = 30,83 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 30,83/0,9 = 34,26 kW
الإجابة
Pel = 34,26 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 39,47 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 6)·0,1859 = 8,087 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 20,39 + 8,087 = 39,47 m
الإجابة
H = 39,47 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 0,1574 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,013)·0,18752/3·0,00081/2 = 0,7127 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 0,2209·0,7127 = 0,1574 m³/s
الإجابة
Q = 0,1574 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,01321 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1357)² = 0,01321
الإجابة
S = 0,01321
هذا انخفاض قدره 13,21 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering