الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123PV = ?€20 000

تحتاج إلى €20 000 بعد 3 سنوات. يدفع حساب 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €20 0005% / 12n = 3
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…216€50€50€50FV = ?

تدّخر €50 في نهاية كل شهر لمدة 18 سنوات. يدفع الحساب 3% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €503% / 12N = 216
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 5 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 6%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 3%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 5y0 = 3%y1 = 4%
HPR = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات012345€1 040€80€80 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 5 سنوات ويُباع بسعر €1 040. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 5P = €1 040
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€2 000 000re​ = 9%الدين€5 000 000rd​ = 7%T = 25%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €2 000 000 وديون قيمتها €5 000 000. تكلفة حقوق الملكية 9%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €2 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 6%بلا دينحقوق الملكيةβU​ = 1,1D/E = 0,25حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 30%

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 1,1. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,25. معدّل الضريبة 30%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 6%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

βU = 1,1D/E = 0,25T = 30%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123…9−100 0007 000+2%+2%…r = 10%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €100 000 اليوم. يولّد €7 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 2% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €100 000CF1 = €7 000g = 2%r = 10%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123−25 00010 00010 00010 000

استثمار قدره €25 000 يعود بـ €10 000 في نهاية كل سنة لمدة 3 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €25 000CF = €10 000n = 3
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 17220 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·3 = 36

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,161 = €17 219,52

الإجابة

PV = €17 219,52
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 14297 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·18 = 216

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1,715 − 1)/0,0025 = €14 297,02

الإجابة

FV = €14 297,02

دفعتَ بنفسك €10 800؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = −0,4214 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €60,00, i = 0,03, N = 5
€60,00·(1 − 0,8626)/0,03 + €1 000·0,8626 = €274,78 + €862,61 = €1 137,39

سعر البيع

C = €60,00, i = 0,04, N = 4
€60,00·(1 − 0,8548)/0,04 + €1 000·0,8548 = €217,79 + €854,80 = €1 072,60

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (60 + 1 072,60 − 1 137,39)/1 137,39 = −0,4214%

الإجابة

HPR = −0,4214%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 7,024 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

الحل العددي

P(7%) = €1 041,00, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,024%

الإجابة

YTM = 7,024%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,321 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143

WACC

WACC = 0,2857·9% + 0,7143·7%·(1 − 0,25) = 6,321%

الإجابة

WACC = 6,321%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 11,76 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

βL = 1,1·(1 + 0,7·0,25) = 1,293

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 1,293·6% = 11,76%

الإجابة

re = 11,76%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −12500 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 7 000/(0,1 − 0,02) = 87 500,00

NPV

NPV = 87 500,00 − 100 000 = −€12 500,00

الإجابة

NPV = −€12 500,00

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 9,701 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/10 000 = 2,5

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 9%: 2,531
i = 10%: 2,487
IRR = 9,701%

الإجابة

IRR = 9,701%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation