الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €5 000 بمعدّل 2% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 13 سنوات.

PV = €5 000r = 2%t = 13

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €12 000 بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €150 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €12 000A = €1503,6% / 12

N = دفعات

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 9 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 114 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 3,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 9P = €1 114YTM = 3,5%

c = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 8% ويستحق بعد 4 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 4YTM = 5%

D = سنوات

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €4 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 000 000، ودين قيمته €5 000 000. تكلفة حقوق الملكية 9%، وتكلفة الأسهم الممتازة 7,5%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%. معدّل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €4 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_p = 7,5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 4 000 000 من الأسهم بسعر €19,50 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 21%. معامل بيتا للسهم 1,5، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 7%. أوجد WACC.

β = 1,5r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €500 000 اليوم. يولّد €24 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 4% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €24 000g = 4%r = 10%

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €20 000 يعود بـ €2 500 في نهاية كل سنة لمدة 10 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €20 000CF = €2 500n = 10

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 6485 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,02·13 = 0,26

e^0,26 = 1,297

القيمة المستقبلية

FV = 5 000·1,297 = €6 484,65

الإجابة

FV = €6 484,65

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 92 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,003/150 = 0,76

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,76)/ln(1,003) = 91,62

قرّب إلى دفعات كاملة

91 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 92

الإجابة

N = 92 دفعات

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 4,998 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,035)⁻⁹ = €733,73

الكوبون

C = (1114 − 733,73)/7,608 = €49,98

معدل الكوبون

c = 49,98/1000 = 4,998%

الإجابة

c = 4,998%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 3,6 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19

t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12

t = 3: 80/1,158 = 69,11, t·PV = 207,32

t = 4: 1080/1,216 = 888,52, t·PV = 3 554,07

المدة

P = 1 106,38

D = 3 982,71/1 106,38 = 3,6

الإجابة

D = 3,6 سنوات

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,225 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 4 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,4, P_s/V = 0,1, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,4·9% + 0,1·7,5% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 6,225%

الإجابة

WACC = 6,225%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,257 %

القيم السوقية

E = 4 000 000·€19,50 = €78 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,5·4,5% = 9,25%

الأوزان

V = €120 000 000, E/V = 0,65, D/V = 0,35

WACC

WACC = 0,65·9,25% + 0,35·4,5%·(1 − 0,21) = 7,257%

الإجابة

WACC = 7,257%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −100000 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 24 000/(0,1 − 0,04) = 400 000,00

NPV

NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00

الإجابة

NPV = −€100 000,00

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 4,277 %

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/2 500 = 8

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 4%: 8,111

i = 5%: 7,722

IRR = 4,277%

الإجابة

IRR = 4,277%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation