الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €25 000 بعد 8 سنوات. يدفع حساب 2% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €25 0002% / 4n = 8

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €150 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات. معدل الفائدة 7,2% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €150 0007,2% / 12N = 240

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% ويستحق بعد 12 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 3% إلى 1,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 7%n = 12y₁ = 3%y₂ = 1,5%

ΔP = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €970 بعائد حتى الاستحقاق 3% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 5,4 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 75 نقطة أساس.

P₀ = €970y = 3%D = 5,4Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 0,75. تكلفة حقوق ملكيتها 9%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 3%، ومعدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC.

D/E = 0,75r_e = 9%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €10 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 13%. يتكوّن دينها من 8 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 4%، 10 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €923. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €10 000 000r_e = 13%السندات: 8 000 × €923الكوبون = 4%n = 10T = 20%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 اليوم ويعود بـ €13 500 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. تكلفة رأس المال 12%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 500CF₃ = 13 500CF₄ = 13 500CF₅ = 13 500

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €21 000, €12 500, €19 500, €18 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 8%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 12 500CF₃ = 19 500CF₄ = 18 000

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 21312 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·8 = 32

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,173 = €21 312,09

الإجابة

PV = €21 312,09

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1181 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·20 = 240

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,2379

A = 150 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 181,02

الإجابة

A = €1 181,02

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 201,8 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €70,00, i = 0,03, N = 12

€70,00·(1 − 0,7014)/0,03 + €1 000·0,7014 = €696,78 + €701,38 = €1 398,16

السعر عند العائد الجديد

C = €70,00, i = 0,015, N = 12

€70,00·(1 − 0,8364)/0,015 + €1 000·0,8364 = €763,53 + €836,39 = €1 599,91

التغيّر

ΔP = 1 599,91 − 1 398,16 = €201,75

الإجابة

ΔP = €201,75

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 931,9 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 5,4/1,03 = 5,243

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −5,243·(0,0075) = −3,932%

P ≈ 970·(1 − 0,03932) = €931,86

الإجابة

P = €931,86

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,097 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·3%·(1 − 0,258) = 6,097%

الإجابة

WACC = 6,097%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,176 %

تكلفة الدين (YTM)

923 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 4,997%

القيم السوقية

D = 8 000·€923 = €7 384 000

V = €17 384 000, E/V = 0,5752, D/V = 0,4248

WACC

WACC = 0,5752·13% + 0,4248·4,997%·(1 − 0,2) = 9,176%

الإجابة

WACC = 9,176%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,883 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 13 500/1,12 = 12 053,57 → Σ = 12 053,57

السنة 2: 13 500/1,254 = 10 762,12 → Σ = 22 815,69

السنة 3: 13 500/1,405 = 9 609,03 → Σ = 32 424,72

السنة 4: 13 500/1,574 = 8 579,49 → Σ = 41 004,22

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 7 575,28/8 579,49 = 3,883

الإجابة

DPB = 3,883 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,963 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 18,96 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

21 000·1,08³ = 26 453,95

12 500·1,08² = 14 580,00

19 500·1,08¹ = 21 060,00

18 000·1,08⁰ = 18 000,00

TV = 80 093,95

MIRR

MIRR = (80 093,95/40 000)^1/4 − 1 = 18,96%

الإجابة

MIRR = 18,96%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation