الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €20 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 1,5% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 7,5% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €20 000g = 1,5%r = 7,5%

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €500 في نهاية كل شهر لمدة 20 سنوات. يدفع الحساب 2,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €5002,4% / 12N = 240

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 2% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 6% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 2%YTM = 6%n = 7

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 2% ويستحق بعد 4 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 3,5%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 2%n = 4YTM = 3,5%

D = سنوات

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €10 000 000 وديون قيمتها €1 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €55,50 للسهم الواحد و20 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 20%. معامل بيتا للسهم 1,8، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 9,5%. أوجد WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €60 000 اليوم. تولّد €23 500 في نهاية كل سنة لمدة 3 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €6 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €60 000CF = €23 500S = €6 000n = 3r = 10%

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €10 000 ويعود بـ €5 500, €4 000, €2 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €12 000 ويعود بـ €3 000, €4 500, €6 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −12 000, 3 000, 4 500, 6 500

r* = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 333333 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,075 − 0,015) = 20 000/0,06 = €333 333,33

الإجابة

PV = €333 333,33

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 153825 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·20 = 240

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,615 − 1)/0,002 = €153 824,98

الإجابة

FV = €153 824,98

دفعتَ بنفسك €120 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 774,1 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €10,00, i = 0,03, N = 14

القيمة الحالية للكوبونات

€10,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €112,96

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6611 = €661,12

السعر

P = €774,08

الإجابة

P = €774,08

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 3,88 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 20/1,035 = 19,32, t·PV = 19,32

t = 2: 20/1,071 = 18,67, t·PV = 37,34

t = 3: 20/1,109 = 18,04, t·PV = 54,12

t = 4: 1020/1,148 = 888,87, t·PV = 3 555,48

المدة

P = 944,90

D = 3 666,26/944,90 = 3,88

الإجابة

D = 3,88 سنوات

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 11,42 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·12% + 0,09091·7%·(1 − 0,2) = 11,42%

الإجابة

WACC = 11,42%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 13,27 %

القيم السوقية

E = 2 000 000·€55,50 = €111 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·7% = 15,1%

الأوزان

V = €132 000 000, E/V = 0,8409, D/V = 0,1591

WACC

WACC = 0,8409·15,1% + 0,1591·4,5%·(1 − 0,2) = 13,27%

الإجابة

WACC = 13,27%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 2949 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

23 500·2,487 = 58 441,02

القيمة الحالية لقيمة الخردة

6 000/1,331 = 4 507,89

NPV

NPV = −60 000 + 58 441,02 + 4 507,89 = €2 948,91

الإجابة

NPV = €2 948,91

8.NPV و IRR

الإجابة: r* = 4,59 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 6 500 − 2 000 = 4 500

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(4%) = 58,92

NPV_Δ(5%) = −40,17

r* = 4,59%

الإجابة

r* = 4,59%

تحقّق: عند 4,59% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €663,40.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation