الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 4 سنوات.

PV = €12 0006% / 4n = 4

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €500 في نهاية كل شهر لمدة 24 سنوات. يدفع الحساب 5,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €5005,4% / 12N = 288

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 8% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 10 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 8%YTM = 5%n = 10

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €980 بعائد حتى الاستحقاق 7% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 8,1 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 75 نقطة أساس.

P₀ = €980y = 7%D = 8,1Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €4 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 000 000، ودين قيمته €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6,5%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €4 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_p = 6,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 0,9. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,5. معدّل الضريبة 20%، والمعدّل الخالي من المخاطر 2%، وعلاوة مخاطر السوق 7%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

β_U = 0,9D/E = 0,5T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €15 000, €9 000, €12 000, €13 000. تكلفة رأس المال 5%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 9 000CF₃ = 12 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €40 000 ويعود بـ €22 500, €16 500, €9 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €45 000 ويعود بـ €14 000, €18 500, €23 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −40 000, 22 500, 16 500, 9 000B: −45 000, 14 000, 18 500, 23 500

r* = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 15228 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·4 = 16

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,015)¹⁶ = 12 000·1,269 = €15 227,83

الإجابة

FV = €15 227,83

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 293782 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·24 = 288

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3,644 − 1)/0,0045 = €293 782,13

الإجابة

FV = €293 782,13

دفعتَ بنفسك €144 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1234 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €40,00, i = 0,025, N = 20

القيمة الحالية للكوبونات

€40,00·(1 − 0,6103)/0,025 = €623,57

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6103 = €610,27

السعر

P = €1 233,84

الإجابة

P = €1 233,84

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 924,4 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 8,1/1,07 = 7,57

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −7,57·(0,0075) = −5,678%

P ≈ 980·(1 − 0,05678) = €924,36

الإجابة

P = €924,36

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,929 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 4 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €7 000 000

E/V = 0,5714, P_s/V = 0,1429, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,1429·6,5% + 0,2857·5%·(1 − 0,2) = 8,929%

الإجابة

WACC = 8,929%

6.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 10,82 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

β_L = 0,9·(1 + 0,8·0,5) = 1,26

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 1,26·7% = 10,82%

الإجابة

r_e = 10,82%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −1490 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 15 000/1,05 = 14 285,71

CF₂/(1 + 0,05)² = 9 000/1,103 = 8 163,27

CF₃/(1 + 0,05)³ = 12 000/1,158 = 10 366,05

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 13 000/1,216 = 10 695,13

اجمعها

NPV = €−1 489,84

الإجابة

NPV = €−1 489,84

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: r* = 9,308 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 14 000 − 22 500 = −8 500

ΔCF₂ = 18 500 − 16 500 = 2 000

ΔCF₃ = 23 500 − 9 000 = 14 500

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(9%) = 81,86

NPV_Δ(10%) = −180,32

r* = 9,308%

الإجابة

r* = 9,308%

تحقّق: عند 9,308% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €1 284,74.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation