الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €8 000 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. معدّل الفائدة 4% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €8 000i = 4%n = 5

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €8 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 5 سنوات. معدل الفائدة 3% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €8 0003% / 12N = 60

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 5 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 3% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 5%YTM = 3%n = 5

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 4% يستحق بعد 7 سنوات ويُباع بسعر €1 095. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 7P = €1 095

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €12 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 000 000، ودين قيمته €5 000 000. تكلفة حقوق الملكية 13%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3%. معدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_p = 6%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 1 000 000 من الأسهم بسعر €50,00 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 020. تكلفة الدين قبل الضريبة 6% ومعدل الضريبة 28%. معامل بيتا للسهم 0,6، والمعدل الخالي من المخاطر 2%، وعائد السوق 9%. أوجد WACC.

β = 0,6r_f = 2%r_m = 9%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €20 000 اليوم، وتعمل 6 سنوات وتكلّف €3 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 10%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €20 000M = €3 000n = 6r = 10%

EAC = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €22 000, €18 500, €28 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 8%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 22 000CF₂ = 18 500CF₃ = 28 000

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 35615 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8219)/0,04 = 4,452

القيمة الحالية

PV = 8 000·4,452 = €35 614,58

الإجابة

PV = €35 614,58

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 143,7 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·5 = 60

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,8609

A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €143,75

الإجابة

A = €143,75

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1092 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €25,00, i = 0,015, N = 10

القيمة الحالية للكوبونات

€25,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €230,55

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8617 = €861,67

السعر

P = €1 092,22

الإجابة

P = €1 092,22

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 2,504 %

معادلة العائد

€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

الحل العددي

P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30

YTM = 2,504%

الإجابة

YTM = 2,504%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,618 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €18 000 000

E/V = 0,6667, P_s/V = 0,05556, D/V = 0,2778

WACC

WACC = 0,6667·13% + 0,05556·6% + 0,2778·3%·(1 − 0,258) = 9,618%

الإجابة

WACC = 9,618%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,026 %

القيم السوقية

E = 1 000 000·€50,00 = €50 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 0,6·7% = 6,2%

الأوزان

V = €55 100 000, E/V = 0,9074, D/V = 0,09256

WACC

WACC = 0,9074·6,2% + 0,09256·6%·(1 − 0,28) = 6,026%

الإجابة

WACC = 6,026%

7.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 7592 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,1⁻⁶)/0,1 = 4,355

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

20 000/4,355 = 4 592,15

EAC

EAC = 4 592,15 + 3 000 = €7 592,15

الإجابة

EAC = €7 592,15

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 13,78 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

22 000·1,08² = 25 660,80

18 500·1,08¹ = 19 980,00

28 000·1,08⁰ = 28 000,00

TV = 73 640,80

MIRR

MIRR = (73 640,80/50 000)^1/3 − 1 = 13,78%

الإجابة

MIRR = 13,78%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation