الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€12 000+4%+4%…r = 7%

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €12 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 4% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 7% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C1 = €12 000g = 4%r = 7%
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…108A?AA€100 000

تريد €100 000 بعد 9 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €100 0003% / 12N = 108
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…12€10€10€10 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 2% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 6 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 6% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 2%YTM = 6%n = 6
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…9€925€30€30 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 3% يستحق بعد 9 سنوات ويُباع بسعر €925. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 3%n = 9P = €925
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
βr (%)SMLrf​ = 2,5%β = 1rm​ = ?β = 0,9re​ = 8,8%

سهم معامل بيتا له 0,9 وعائده المطلوب 8,8%. المعدّل الخالي من المخاطر 2,5%. ما عائد السوق المتوقّع rm الذي يقتضيه CAPM؟

β = 0,9re = 8,8%rf = 2,5%
rm = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية€10 000 000re​ = 11%السندات4 000 × €916الكوبون 5%, n = 12T = 21%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €10 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 11%. يتكوّن دينها من 4 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 5%، 12 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €916. معدّل الضريبة 21%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €10 000 000re = 11%السندات: 4 000 × €916الكوبون = 5%n = 12T = 21%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات01234567−50 0008 0008 0008 0008 0008 0008 00015 500

تبلغ تكلفة آلة €50 000 اليوم. تولّد €8 000 في نهاية كل سنة لمدة 7 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €7 500. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €50 000CF = €8 000S = €7 500n = 7r = 6%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012−40 00023 50023 500

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €23 500, €23 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −40 000CF1 = 23 500CF2 = 23 500
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 400000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C1/(r − g) = 12 000/(0,07 − 0,04) = 12 000/0,03 = €400 000,00

الإجابة

PV = €400 000,00
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 807,7 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·9 = 108

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0,0025/(1,31 − 1) = €807,69

الإجابة

A = €807,69
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 800,9 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €10,00, i = 0,03, N = 12

القيمة الحالية للكوبونات

€10,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €99,54

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,7014 = €701,38

السعر

P = €800,92

الإجابة

P = €800,92

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 4,009 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

الحل العددي

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84
YTM = 4,009%

الإجابة

YTM = 4,009%
5.CAPM و WACC

الإجابة: rm = 9,5 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

rm − rf = (8,8% − 2,5%)/0,9 = 7%

عائد السوق

rm = 2,5% + 7% = 9,5%

الإجابة

rm = 9,5%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,322 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة الدين (YTM)

916 = 50·(1 − (1 + y)−12)/y + 1000/(1 + y)12
y = 6,002%

القيم السوقية

D = 4 000·€916 = €3 664 000
V = €13 664 000, E/V = 0,7319, D/V = 0,2681

WACC

WACC = 0,7319·11% + 0,2681·6,002%·(1 − 0,21) = 9,322%

الإجابة

WACC = 9,322%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −353 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

8 000·5,582 = 44 659,05

القيمة الحالية لقيمة الخردة

7 500/1,504 = 4 987,93

NPV

NPV = −50 000 + 44 659,05 + 4 987,93 = −€353,02

الإجابة

NPV = −€353,02
8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 11,46 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 785,12
NPV(15%) = −1 795,84

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·785,12/(785,12 − (−1 795,84)) = 11,52%
بالضبط: NPV(11,46%) = 0 → IRR = 11,46%

الإجابة

IRR = 11,46%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation