الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €3 000 في نهاية كل سنة لمدة 17 سنوات. معدّل الفائدة 5% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €3 000i = 5%n = 17

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €150 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات. معدل الفائدة 4,8% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €150 0004,8% / 12N = 240

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 11 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 7% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 5%YTM = 7%n = 11

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 5 سنوات ويُباع بسعر €925. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 5P = €925

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €10 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €2 000 000، ودين قيمته €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 14%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 6%. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 4 000 000 من الأسهم بسعر €45,50 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 30%. معامل بيتا للسهم 1,2، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 6,5%. أوجد WACC.

β = 1,2r_f = 2,5%r_m = 6,5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €30 000 اليوم ويعود بـ €10 500 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. تكلفة رأس المال 5%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €37 000, €19 500, €25 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 000CF₂ = 19 500CF₃ = 25 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 33822 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4363)/0,05 = 11,27

القيمة الحالية

PV = 3 000·11,27 = €33 822,20

الإجابة

PV = €33 822,20

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 973,4 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·20 = 240

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,3836

A = 150 000·0,004/(1 − 0,3836) = €973,44

الإجابة

A = €973,44

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 848,3 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €25,00, i = 0,035, N = 22

القيمة الحالية للكوبونات

€25,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €379,18

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,4692 = €469,15

السعر

P = €848,33

الإجابة

P = €848,33

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 9,977 %

معادلة العائد

€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

الحل العددي

P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18

YTM = 9,977%

الإجابة

YTM = 9,977%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 11,54 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €14 000 000

E/V = 0,7143, P_s/V = 0,1429, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,7143·14% + 0,1429·6% + 0,1429·6%·(1 − 0,2) = 11,54%

الإجابة

WACC = 11,54%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,638 %

القيم السوقية

E = 4 000 000·€45,50 = €182 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,2·4% = 7,3%

الأوزان

V = €220 400 000, E/V = 0,8258, D/V = 0,1742

WACC

WACC = 0,8258·7,3% + 0,1742·5%·(1 − 0,3) = 6,638%

الإجابة

WACC = 6,638%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,163 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

السنة 2: 10 500/1,103 = 9 523,81 → Σ = 19 523,81

السنة 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 28 594,10

السنة 4: 10 500/1,216 = 8 638,38 → Σ = 37 232,48

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 1 405,90/8 638,38 = 3,163

الإجابة

DPB = 3,163 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,857 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 32,49 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(30%) = 1 606,74

NPV(35%) = −1 528,73

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 30 + 5·1 606,74/(1 606,74 − (−1 528,73)) = 32,56%

بالضبط: NPV(32,49%) = 0 → IRR = 32,49%

الإجابة

IRR = 32,49%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation