الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9€20 000FV = ?

تستثمر €20 000 بمعدّل 7% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 9 سنوات.

PV = €20 000r = 7%t = 9
FV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…204€300€300€300FV = ?

تدّخر €300 في نهاية كل شهر لمدة 17 سنوات. يدفع الحساب 2,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €3002,4% / 12N = 204
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات012345€1 089C = ?C = ?C = ? + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 5 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 089 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 5P = €1 089YTM = 4%
c = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €940 بعائد حتى الاستحقاق 4% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 5 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 75 نقطة أساس.

P0 = €940y = 4%D = 5Δy = −75 bp
P = €
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€6 000 000re​ = 11%الدين€6 000 000rd​ = 3%T = 30%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 وديون قيمتها €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 11%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3%، ومعدل الضريبة 30%. أوجد WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000re = 11%rd = 3%T = 30%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية€15 000 000re​ = 13%السندات8 000 × €940الكوبون 6%, n = 8T = 25%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €15 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 13%. يتكوّن دينها من 8 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 6%، 8 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €940. معدّل الضريبة 25%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €15 000 000re = 13%السندات: 8 000 × €940الكوبون = 6%n = 8T = 25%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−60 00017 00029 00030 000

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €17 000, €29 000, €30 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 17 000CF2 = 29 000CF3 = 30 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123−25 00017 50013 50017 500

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €17 500, €13 500, €17 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 13 500CF3 = 17 500
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 37552 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,07·9 = 0,63
e0,63 = 1,878

القيمة المستقبلية

FV = 20 000·1,878 = €37 552,21

الإجابة

FV = €37 552,21
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 75479 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·17 = 204

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(1,503 − 1)/0,002 = €75 479,18

الإجابة

FV = €75 479,18

دفعتَ بنفسك €61 200؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 5,999 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,04)−5 = €821,93

الكوبون

C = (1089 − 821,93)/4,452 = €59,99

معدل الكوبون

c = 59,99/1000 = 5,999%

الإجابة

c = 5,999%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 973,9 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

المدة المعدَّلة

Dmod = 5/1,04 = 4,808

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −4,808·(−0,0075) = 3,606%
P ≈ 940·(1 + 0,03606) = €973,89

الإجابة

P = €973,89

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,55 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·3%·(1 − 0,3) = 6,55%

الإجابة

WACC = 6,55%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 10,41 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة الدين (YTM)

940 = 60·(1 − (1 + y)−8)/y + 1000/(1 + y)8
y = 7,005%

القيم السوقية

D = 8 000·€940 = €7 520 000
V = €22 520 000, E/V = 0,6661, D/V = 0,3339

WACC

WACC = 0,6661·13% + 0,3339·7,005%·(1 − 0,25) = 10,41%

الإجابة

WACC = 10,41%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 1961 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 17 000/1,1 = 15 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 29 000/1,21 = 23 966,94
CF3/(1 + 0,1)3 = 30 000/1,331 = 22 539,44

اجمعها

NPV = €1 960,93

الإجابة

NPV = €1 960,93

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 42,42 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(40%) = 765,31
NPV(45%) = −769,81

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 40 + 5·765,31/(765,31 − (−769,81)) = 42,49%
بالضبط: NPV(42,42%) = 0 → IRR = 42,42%

الإجابة

IRR = 42,42%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation