الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات01234567PV = ?€1 500€1 500€1 500€1 500

تدفع سلسلة دفعات €1 500 في نهاية كل سنة لمدة 7 سنوات. معدّل الفائدة 4% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €1 500i = 4%n = 7
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…216€500€500€500FV = ?

تدّخر €500 في نهاية كل شهر لمدة 18 سنوات. يدفع الحساب 3% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €5003% / 12N = 216
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…12€30€30€30 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 6 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 3% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 6%YTM = 3%n = 6
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات01234P€60€60€60 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 6% ويستحق بعد 4 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 8%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 4YTM = 8%
D = سنوات
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكيةEre​ = 13%الدينD = 0,75·Erd​ = 4,5%T = 25%

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 0,75. تكلفة حقوق ملكيتها 13%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4,5%، ومعدّل الضريبة 25%. أوجد WACC.

D/E = 0,75re = 13%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 6,5%بلا دينحقوق الملكيةβU​ = 0,9D/E = 1حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 25%

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 0,9. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 1. معدّل الضريبة 25%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 6,5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

βU = 0,9D/E = 1T = 25%rf = 4%rm − rf = 6,5%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−60 00028 00013 00016 000

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €28 000, €13 000, €16 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 28 000CF2 = 13 000CF3 = 16 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123−20 00015 0009 50011 000

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €15 000, €9 500, €11 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 9 500CF3 = 11 000
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 9003 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7599)/0,04 = 6,002

القيمة الحالية

PV = 1 500·6,002 = €9 003,08

الإجابة

PV = €9 003,08
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 142970 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·18 = 216

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(1,715 − 1)/0,0025 = €142 970,17

الإجابة

FV = €142 970,17

دفعتَ بنفسك €108 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1164 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €30,00, i = 0,015, N = 12

القيمة الحالية للكوبونات

€30,00·(1 − 0,8364)/0,015 = €327,23

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8364 = €836,39

السعر

P = €1 163,61

الإجابة

P = €1 163,61

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 3,66 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 60/1,08 = 55,56, t·PV = 55,56
t = 2: 60/1,166 = 51,44, t·PV = 102,88
t = 3: 60/1,26 = 47,63, t·PV = 142,89
t = 4: 1060/1,36 = 779,13, t·PV = 3 116,53

المدة

P = 933,76
D = 3 417,85/933,76 = 3,66

الإجابة

D = 3,66 سنوات
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,875 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·13% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,25) = 8,875%

الإجابة

WACC = 8,875%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 14,24 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

βL = 0,9·(1 + 0,75·1) = 1,575

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 1,575·6,5% = 14,24%

الإجابة

re = 14,24%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −11781 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 28 000/1,1 = 25 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 13 000/1,21 = 10 743,80
CF3/(1 + 0,1)3 = 16 000/1,331 = 12 021,04

اجمعها

NPV = €−11 780,62

الإجابة

NPV = €−11 780,62

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 38,18 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(35%) = 794,59
NPV(40%) = −430,03

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 35 + 5·794,59/(794,59 − (−430,03)) = 38,24%
بالضبط: NPV(38,18%) = 0 → IRR = 38,18%

الإجابة

IRR = 38,18%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation