الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €6 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 2,5% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 8,5% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €6 000g = 2,5%r = 8,5%

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €300 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 25 سنوات بمعدّل 7,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 10؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €300 0007,2% / 12N = 300k = 120

B = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 3% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 4 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 4% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 3%YTM = 4%n = 4

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €1 100 بعائد حتى الاستحقاق 4% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 5,4 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 100 نقطة أساس.

P₀ = €1 100y = 4%D = 5,4Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €12 000 000 وديون قيمتها €3 000 000. تكلفة حقوق الملكية 11%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%، ومعدل الضريبة 25,8%. أوجد WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 1 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €36,00؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €21 600 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €3,00 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 2% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €21 600 000 وتكلفته قبل الضريبة 5%. معدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 1 000 000P₀ = €36,00حقوق الملكية الدفترية = €21 600 000D₀ = €3,00g = 2%D = €21 600 000r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €12 000, €12 000, €21 000, €21 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 21 000CF₄ = 21 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €13 500, €10 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 10 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 100000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,085 − 0,025) = 6 000/0,06 = €100 000,00

الإجابة

PV = €100 000,00

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 237215 €

الدفعة الشهرية

i = 0,006, N = 300

A = 300 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁰⁰) = €2 158,77

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 300 − 120 = 180

B = 2159·(1 − (1 + 0,006)⁻¹⁸⁰)/0,006 = €237 214,86

الإجابة

B = €237 214,86

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 963,4 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €15,00, i = 0,02, N = 8

القيمة الحالية للكوبونات

€15,00·(1 − 0,8535)/0,02 = €109,88

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8535 = €853,49

السعر

P = €963,37

الإجابة

P = €963,37

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1157 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 5,4/1,04 = 5,192

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −5,192·(−0,01) = 5,192%

P ≈ 1100·(1 + 0,05192) = €1 157,12

الإجابة

P = €1 157,12

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,542 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·11% + 0,2·5%·(1 − 0,258) = 9,542%

الإجابة

WACC = 9,542%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,954 %

تكلفة حقوق الملكية

D₁ = 3·1,02 = €3,06

r_e = 3,06/36 + 0,02 = 10,5%

القيم السوقية

E = 1 000 000·€36,00 = €36 000 000

V = €57 600 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·10,5% + 0,375·5%·(1 − 0,258) = 7,954%

الإجابة

WACC = 7,954%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 323,2 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 12 000/1,15 = 10 434,78

CF₂/(1 + 0,15)² = 12 000/1,322 = 9 073,72

CF₃/(1 + 0,15)³ = 21 000/1,521 = 13 807,84

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 21 000/1,749 = 12 006,82

اجمعها

NPV = €323,17

الإجابة

NPV = €323,17

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 13,68 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 950,41

NPV(15%) = −321,36

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·950,41/(950,41 − (−321,36)) = 13,74%

بالضبط: NPV(13,68%) = 0 → IRR = 13,68%

الإجابة

IRR = 13,68%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation