الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€5 000

تحتاج إلى €5 000 بعد 9 سنوات. يدفع حساب 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €5 0005% / 12n = 9
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…48€15 000AAAA7,2% / 12, I = ?

يُسدَّد قرض قدره €15 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 4 سنوات بمعدّل 7,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €15 0007,2% / 12N = 48
I = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 8 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 4%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 8%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 9%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 8y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…10€1 075€60€60 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 6% يستحق بعد 10 سنوات ويُباع بسعر €1 075. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 10P = €1 075
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€5 000 000re​ = 12%الدين€2 000 000rd​ = 3,5%T = 25%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €5 000 000 وديون قيمتها €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3,5%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000re = 12%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية4 000 000 × €24,00β = 1,8rf​ = 4%, rm​ = 11%الدين20 000 × €1 000rd​ = 3,5%T = 25%

لدى شركة 4 000 000 من الأسهم بسعر €24,00 للسهم الواحد و20 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 000. تكلفة الدين قبل الضريبة 3,5% ومعدل الضريبة 25%. معامل بيتا للسهم 1,8، والمعدل الخالي من المخاطر 4%، وعائد السوق 11%. أوجد WACC.

β = 1,8rf = 4%rm = 11%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−45 00017 00021 00019 000

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €17 000, €21 000, €19 000. تكلفة رأس المال 9%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 9%CF0 = −45 000CF1 = 17 000CF2 = 21 000CF3 = 19 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012−25 00011 50018 000

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €11 500, €18 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 18 000
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 3191 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·9 = 108

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,567 = €3 191,12

الإجابة

PV = €3 191,12
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 2308 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,006, N = 48
A = 15 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−48) = €360,59

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 48·360,6 − 15 000 = €2 308,18

الإجابة

I = €2 308,18
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = 2,366 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €40,00, i = 0,08, N = 8
€40,00·(1 − 0,5403)/0,08 + €1 000·0,5403 = €229,87 + €540,27 = €770,13

سعر البيع

C = €40,00, i = 0,09, N = 7
€40,00·(1 − 0,547)/0,09 + €1 000·0,547 = €201,32 + €547,03 = €748,35

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (40 + 748,35 − 770,13)/770,13 = 2,366%

الإجابة

HPR = 2,366%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 5,027 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

الحل العددي

P(5%) = €1 077,22, P(6%) = €1 000,00
YTM = 5,027%

الإجابة

YTM = 5,027%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,321 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·12% + 0,2857·3,5%·(1 − 0,25) = 9,321%

الإجابة

WACC = 9,321%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 14,19 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 4 000 000·€24,00 = €96 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 1,8·7% = 16,6%

الأوزان

V = €116 000 000, E/V = 0,8276, D/V = 0,1724

WACC

WACC = 0,8276·16,6% + 0,1724·3,5%·(1 − 0,25) = 14,19%

الإجابة

WACC = 14,19%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 2943 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 17 000/1,09 = 15 596,33
CF2/(1 + 0,09)2 = 21 000/1,188 = 17 675,28
CF3/(1 + 0,09)3 = 19 000/1,295 = 14 671,49

اجمعها

NPV = €2 943,10

الإجابة

NPV = €2 943,10

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 10,91 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 330,58
NPV(15%) = −1 389,41

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·330,58/(330,58 − (−1 389,41)) = 10,96%
بالضبط: NPV(10,91%) = 0 → IRR = 10,91%

الإجابة

IRR = 10,91%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation