الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
فترات0123…1211 + EAR = ?17,5% / 12

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 17,5% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 17,5%m = 12
EAR = %
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
سنوات0123…13€6 000€6 000€6 000FV = ?

تودع €6 000 في بداية كل سنة لمدة 13 سنوات، والإيداع الأول اليوم. يدفع الحساب 8% سنويًا. كم سيكون في الحساب في نهاية السنة 13؟ أوجد FV.

A = €6 000i = 8%n = 13
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 3 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 7%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 3%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 3y0 = 3%y1 = 2,5%
HPR = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123€1 025€80€80 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €1 025. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 3P = €1 025
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€12 000 000re​ = 9%الدين€6 000 000rd​ = 5%T = 25,8%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €12 000 000 وديون قيمتها €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 9%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%، ومعدل الضريبة 25,8%. أوجد WACC.

E = €12 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 6,5%بلا دينحقوق الملكيةβU​ = 0,8D/E = 0,75حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 25%

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 0,8. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,75. معدّل الضريبة 25%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 6,5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

βU = 0,8D/E = 0,75T = 25%rf = 4%rm − rf = 6,5%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−45 00015 00012 00018 000

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €15 000, €12 000, €18 000. تكلفة رأس المال 5%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 5%CF0 = −45 000CF1 = 15 000CF2 = 12 000CF3 = 18 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123…9−40 0006 0006 0006 0006 000

استثمار قدره €40 000 يعود بـ €6 000 في نهاية كل سنة لمدة 9 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €40 000CF = €6 000n = 9
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 18,97 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,175/12 = 0,01458

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,01458)12 − 1 = 1,19 − 1 = 18,97%

الإجابة

EAR = 18,97%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 139290 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات العادية

((1 + 0,08)13 − 1)/0,08 = 21,5

سلسلة الدفعات المقدَّمة

كل إيداع يُستثمر سنة أطول.

FV = 6 000·21,5·1,08 = €139 289,52

الإجابة

FV = €139 289,52
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = 3,916 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €70,00, i = 0,03, N = 3
€70,00·(1 − 0,9151)/0,03 + €1 000·0,9151 = €198,00 + €915,14 = €1 113,14

سعر البيع

C = €70,00, i = 0,025, N = 2
€70,00·(1 − 0,9518)/0,025 + €1 000·0,9518 = €134,92 + €951,81 = €1 086,73

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (70 + 1 086,73 − 1 113,14)/1 113,14 = 3,916%

الإجابة

HPR = 3,916%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 7,047 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€1 025 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(7%) = €1 026,24, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,047%

الإجابة

YTM = 7,047%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,237 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 7,237%

الإجابة

WACC = 7,237%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 12,13 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

βL = 0,8·(1 + 0,75·0,75) = 1,25

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 1,25·6,5% = 12,13%

الإجابة

re = 12,13%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −4281 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 15 000/1,05 = 14 285,71
CF2/(1 + 0,05)2 = 12 000/1,103 = 10 884,35
CF3/(1 + 0,05)3 = 18 000/1,158 = 15 549,08

اجمعها

NPV = €−4 280,86

الإجابة

NPV = €−4 280,86

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 6,463 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−9)/i = 40 000/6 000 = 6,667

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 6%: 6,802
i = 7%: 6,515
IRR = 6,463%

الإجابة

IRR = 6,463%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation