الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €10 000 بعد 10 سنوات. يدفع حساب 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €10 0003,6% / 4n = 10

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات بمعدّل 4,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 11؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €250 0004,2% / 12N = 360k = 132

B = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 5% ويستحق بعد 5 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 5,5% إلى 4%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 5%n = 5y₁ = 5,5%y₂ = 4%

ΔP = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €1 010 بعائد حتى الاستحقاق 6% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 7,3 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 100 نقطة أساس.

P₀ = €1 010y = 6%D = 7,3Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €10 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €500 000، ودين قيمته €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 14%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 6%. معدّل الضريبة 28%. أوجد WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €2 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 500 000 من الأسهم بسعر €58,00 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 3,5% ومعدل الضريبة 25%. معامل بيتا للسهم 1,1، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 9%. أوجد WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €60 000 اليوم. تولّد €8 500 في نهاية كل سنة لمدة 7 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €15 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €60 000CF = €8 500S = €15 000n = 7r = 6%

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €10 000 يعود بـ €1 500 في نهاية كل سنة لمدة 9 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €10 000CF = €1 500n = 9

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 6988 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·10 = 40

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,431 = €6 988,01

الإجابة

PV = €6 988,01

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 191815 €

الدفعة الشهرية

i = 0,0035, N = 360

A = 250 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶⁰) = €1 222,54

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 360 − 132 = 228

B = 1223·(1 − (1 + 0,0035)⁻²²⁸)/0,0035 = €191 814,81

الإجابة

B = €191 814,81

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 65,87 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €50,00, i = 0,055, N = 5

€50,00·(1 − 0,7651)/0,055 + €1 000·0,7651 = €213,51 + €765,13 = €978,65

السعر عند العائد الجديد

C = €50,00, i = 0,04, N = 5

€50,00·(1 − 0,8219)/0,04 + €1 000·0,8219 = €222,59 + €821,93 = €1 044,52

التغيّر

ΔP = 1 044,52 − 978,65 = €65,87

الإجابة

ΔP = €65,87

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 940,4 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 7,3/1,06 = 6,887

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −6,887·(0,01) = −6,887%

P ≈ 1010·(1 − 0,06887) = €940,44

الإجابة

P = €940,44

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 12,13 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 10 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €12 500 000

E/V = 0,8, P_s/V = 0,04, D/V = 0,16

WACC

WACC = 0,8·14% + 0,04·6% + 0,16·6%·(1 − 0,28) = 12,13%

الإجابة

WACC = 12,13%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,176 %

القيم السوقية

E = 2 500 000·€58,00 = €145 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·6,5% = 9,65%

الأوزان

V = €155 500 000, E/V = 0,9325, D/V = 0,06752

WACC

WACC = 0,9325·9,65% + 0,06752·3,5%·(1 − 0,25) = 9,176%

الإجابة

WACC = 9,176%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −2574 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

8 500·5,582 = 47 450,24

القيمة الحالية لقيمة الخردة

15 000/1,504 = 9 975,86

NPV

NPV = −60 000 + 47 450,24 + 9 975,86 = −€2 573,90

الإجابة

NPV = −€2 573,90

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 6,463 %

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 10 000/1 500 = 6,667

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 6%: 6,802

i = 7%: 6,515

IRR = 6,463%

الإجابة

IRR = 6,463%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation