الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€10 000+1%+1%…r = 3%

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €10 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 1% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 3% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C1 = €10 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر01…84…360€200 000AB = ?A5,4% / 12

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €200 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 7؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €200 0005,4% / 12N = 360k = 84
B = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات01234€1 207C = ?C = ?C = ? + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 4 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 207 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 4P = €1 207YTM = 2,5%
c = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123€950€70€70 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 7% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €950. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 3P = €950
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = 11,5%حقوق الملكية€10 000 000re​ = ?الدين€2 000 000rd​ = 5%T = 20%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €10 000 000 ودين قيمته €2 000 000. WACC لديها 11,5%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 5%، ومعدّل الضريبة 20%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re.

E = €10 000 000D = €2 000 000WACC = 11,5%rd = 5%T = 20%
re = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 6%بلا دينحقوق الملكيةβU​ = 1,2D/E = 1,5حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 20%

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 1,2. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 1,5. معدّل الضريبة 20%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 6%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

βU = 1,2D/E = 1,5T = 20%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−20 0007 00010 0009 000

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €7 000, €10 000, €9 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 10 000CF3 = 9 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123−50 00025 00026 00027 500

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €25 000, €26 000, €27 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 10%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 25 000CF2 = 26 000CF3 = 27 500
MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 500000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C1/(r − g) = 10 000/(0,03 − 0,01) = 10 000/0,02 = €500 000,00

الإجابة

PV = €500 000,00
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 177291 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,0045, N = 360
A = 200 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−360) = €1 123,06

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 360 − 84 = 276
B = 1123·(1 − (1 + 0,0045)−276)/0,0045 = €177 291,04

الإجابة

B = €177 291,04
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 8,002 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,025)−4 = €905,95

الكوبون

C = (1207 − 905,95)/3,762 = €80,02

معدل الكوبون

c = 80,02/1000 = 8,002%

الإجابة

c = 8,002%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 8,974 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(8%) = €974,23, P(9%) = €949,37
YTM = 8,974%

الإجابة

YTM = 8,974%
5.CAPM و WACC

الإجابة: re = 13 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

جزء الدين من WACC

0,1667·5%·(1 − 0,2) = 0,6667%

تكلفة حقوق الملكية

re = (11,5% − 0,6667%)/0,8333 = 13%

الإجابة

re = 13%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 19,84 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

βL = 1,2·(1 + 0,8·1,5) = 2,64

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 2,64·6% = 19,84%

الإجابة

re = 19,84%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 628 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 7 000/1,12 = 6 250,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 9 000/1,405 = 6 406,02

اجمعها

NPV = €627,96

الإجابة

NPV = €627,96

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 19,98 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

25 000·1,12 = 30 250,00
26 000·1,11 = 28 600,00
27 500·1,10 = 27 500,00
TV = 86 350,00

MIRR

MIRR = (86 350,00/50 000)1/3 − 1 = 19,98%

الإجابة

MIRR = 19,98%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation