الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات01234567€3 000FV = ?

تستثمر €3 000 بمعدل اسمي 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 7 سنوات.

PV = €3 0005% / 4n = 7
FV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…180€150 000AAAA3% / 12, I = ?

يُسدَّد قرض قدره €150 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 15 سنوات بمعدّل 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €150 0003% / 12N = 180
I = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 10 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 3%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 9%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 10,5%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 3%n = 10y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123456€890€70€70 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 7% يستحق بعد 6 سنوات ويُباع بسعر €890. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 6P = €890
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€4 000 000re​ = 11%الدين€2 000 000rd​ = 4,5%T = 25%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €4 000 000 وديون قيمتها €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 11%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4,5%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000re = 11%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية2 000 000 × €60,00β = 0,8rf​ = 3,5%, rm​ = 9%الدين10 000 × €1 000rd​ = 3%T = 25%

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €60,00 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 000. تكلفة الدين قبل الضريبة 3% ومعدل الضريبة 25%. معامل بيتا للسهم 0,8، والمعدل الخالي من المخاطر 3,5%، وعائد السوق 9%. أوجد WACC.

β = 0,8rf = 3,5%rm = 9%rd = 3%T = 25%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123…9−200 00018 000+4%+4%…r = 12%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €200 000 اليوم. يولّد €18 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 4% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €200 000CF1 = €18 000g = 4%r = 12%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123…8−10 0001 5001 5001 5001 500

استثمار قدره €10 000 يعود بـ €1 500 في نهاية كل سنة لمدة 8 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €10 000CF = €1 500n = 8
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 4248 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125
N = m·n = 4·7 = 28

القيمة المستقبلية

FV = 3 000·(1 + 0,0125)28 = 3 000·1,416 = €4 247,98

الإجابة

FV = €4 247,98
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 36457 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,0025, N = 180
A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−180) = €1 035,87

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 180·1036 − 150 000 = €36 457,04

الإجابة

I = €36 457,04
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = −1,368 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €30,00, i = 0,09, N = 10
€30,00·(1 − 0,4224)/0,09 + €1 000·0,4224 = €192,53 + €422,41 = €614,94

سعر البيع

C = €30,00, i = 0,105, N = 9
€30,00·(1 − 0,4071)/0,105 + €1 000·0,4071 = €169,39 + €407,14 = €576,53

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (30 + 576,53 − 614,94)/614,94 = −1,368%

الإجابة

HPR = −1,368%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 9,488 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

الحل العددي

P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,488%

الإجابة

YTM = 9,488%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,458 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,25) = 8,458%

الإجابة

WACC = 8,458%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,465 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 2 000 000·€60,00 = €120 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 3,5% + 0,8·5,5% = 7,9%

الأوزان

V = €130 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692

WACC

WACC = 0,9231·7,9% + 0,07692·3%·(1 − 0,25) = 7,465%

الإجابة

WACC = 7,465%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 25000 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 18 000/(0,12 − 0,04) = 225 000,00

NPV

NPV = 225 000,00 − 200 000 = €25 000,00

الإجابة

NPV = €25 000,00

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 4,239 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−8)/i = 10 000/1 500 = 6,667

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 4%: 6,733
i = 5%: 6,463
IRR = 4,239%

الإجابة

IRR = 4,239%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation