الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €5 000 بعد 6 سنوات. يدفع حساب 2% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €5 0002% / 4n = 6

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €12 000 بمعدّل 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €200 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €12 000A = €2003% / 12

N = دفعات

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 10 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 8% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 5%YTM = 8%n = 10

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €1 040. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 3P = €1 040

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €3 000 000 وديون قيمتها €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%، ومعدل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €6 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 12%. يتكوّن دينها من 5 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 4%، 10 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €1 085. معدّل الضريبة 28%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €6 000 000r_e = 12%السندات: 5 000 × €1 085الكوبون = 4%n = 10T = 28%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €60 000 اليوم ويعود بـ €13 000, €21 500, €18 000, €22 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. تكلفة رأس المال 8%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 21 500CF₃ = 18 000CF₄ = 22 500

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €5 500, €4 500, €6 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 4 500CF₃ = 6 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 4436 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·6 = 24

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,127 = €4 435,93

الإجابة

PV = €4 435,93

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 66 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,0025/200 = 0,85

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,85)/ln(1,002) = 65,09

قرّب إلى دفعات كاملة

65 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 66

الإجابة

N = 66 دفعات

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 796,1 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €25,00, i = 0,04, N = 20

القيمة الحالية للكوبونات

€25,00·(1 − 0,4564)/0,04 = €339,76

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,4564 = €456,39

السعر

P = €796,15

الإجابة

P = €796,15

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 6,49 %

معادلة العائد

€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(6%) = €1 053,46, P(7%) = €1 026,24

YTM = 6,49%

الإجابة

YTM = 6,49%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,8 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·12% + 0,4·5%·(1 − 0,2) = 8,8%

الإجابة

WACC = 8,8%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,329 %

تكلفة الدين (YTM)

1085 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 3,003%

القيم السوقية

D = 5 000·€1 085 = €5 425 000

V = €11 425 000, E/V = 0,5252, D/V = 0,4748

WACC

WACC = 0,5252·12% + 0,4748·3,003%·(1 − 0,28) = 7,329%

الإجابة

WACC = 7,329%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,922 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 13 000/1,08 = 12 037,04 → Σ = 12 037,04

السنة 2: 21 500/1,166 = 18 432,78 → Σ = 30 469,82

السنة 3: 18 000/1,26 = 14 288,98 → Σ = 44 758,80

السنة 4: 22 500/1,36 = 16 538,17 → Σ = 61 296,97

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 15 241,20/16 538,17 = 3,922

الإجابة

DPB = 3,922 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (3,333 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 28,97 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(25%) = 608,00

NPV(30%) = −147,93

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 25 + 5·608,00/(608,00 − (−147,93)) = 29,02%

بالضبط: NPV(28,97%) = 0 → IRR = 28,97%

الإجابة

IRR = 28,97%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation