الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €5 000 في نهاية كل سنة لمدة 13 سنوات. معدّل الفائدة 6% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €5 000i = 6%n = 13

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €300 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات بمعدّل 7,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 8؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €300 0007,2% / 12N = 240k = 96

B = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4% ويستحق بعد 6 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 3,5% إلى 2,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 4%n = 6y₁ = 3,5%y₂ = 2,5%

ΔP = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند متبقٍّ على استحقاقه 16 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 5%) يُباع بسعر €1 181. يستطيع المُصدِر استدعاءه بعد 6 سنوات بسعر استدعاء €1 050. أوجد العائد حتى الاستدعاء YTC بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5%P = €1 181سعر الاستدعاء = €1 050الاستدعاء بعد 6 سنوات

YTC = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €3 000 000 ودين قيمته €1 000 000. WACC لديها 7,34%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 3%، ومعدّل الضريبة 21%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 7,34%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €9,50 للسهم الواحد و20 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €980. تكلفة الدين قبل الضريبة 3% ومعدل الضريبة 20%. معامل بيتا للسهم 1,5، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 9%. أوجد WACC.

β = 1,5r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 اليوم ويعود بـ €17 000, €16 500, €9 000, €15 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. تكلفة رأس المال 8%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 17 000CF₂ = 16 500CF₃ = 9 000CF₄ = 15 000

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €16 500, €16 000, €16 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 000CF₃ = 16 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 44263 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4688)/0,06 = 8,853

القيمة الحالية

PV = 5 000·8,853 = €44 263,41

الإجابة

PV = €44 263,41

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 227323 €

الدفعة الشهرية

i = 0,006, N = 240

A = 300 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻²⁴⁰) = €2 362,05

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 240 − 96 = 144

B = 2362·(1 − (1 + 0,006)⁻¹⁴⁴)/0,006 = €227 322,57

الإجابة

B = €227 322,57

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 55,98 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €40,00, i = 0,035, N = 6

€40,00·(1 − 0,8135)/0,035 + €1 000·0,8135 = €213,14 + €813,50 = €1 026,64

السعر عند العائد الجديد

C = €40,00, i = 0,025, N = 6

€40,00·(1 − 0,8623)/0,025 + €1 000·0,8623 = €220,33 + €862,30 = €1 082,62

التغيّر

ΔP = 1 082,62 − 1 026,64 = €55,98

الإجابة

ΔP = €55,98

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTC = 2,497 %

معادلة العائد

1181 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1050/(1 + y)⁶

الحل العددي

y = 2%: €1 212,44

y = 3%: €1 150,22

YTC = 2,497%

الإجابة

YTC = 2,497%

العائد حتى الاستحقاق 3,503%. يتوقّع المستثمرون في سند بعلاوة أن يُستدعى، لذا العائد حتى الاستدعاء الأدنى هو الأكثر واقعية.

5.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 8,997 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

جزء الدين من WACC

0,25·3%·(1 − 0,21) = 0,5925%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (7,34% − 0,5925%)/0,75 = 8,997%

الإجابة

r_e = 8,997%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,373 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€9,50 = €47 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,5·6,5% = 12,25%

الأوزان

V = €67 100 000, E/V = 0,7079, D/V = 0,2921

WACC

WACC = 0,7079·12,25% + 0,2921·3%·(1 − 0,2) = 9,373%

الإجابة

WACC = 9,373%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,269 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 17 000/1,08 = 15 740,74 → Σ = 15 740,74

السنة 2: 16 500/1,166 = 14 146,09 → Σ = 29 886,83

السنة 3: 9 000/1,26 = 7 144,49 → Σ = 37 031,32

السنة 4: 15 000/1,36 = 11 025,45 → Σ = 48 056,77

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 2 968,68/11 025,45 = 3,269

الإجابة

DPB = 3,269 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,722 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 43,02 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(40%) = 962,10

NPV(45%) = −598,43

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 40 + 5·962,10/(962,10 − (−598,43)) = 43,08%

بالضبط: NPV(43,02%) = 0 → IRR = 43,02%

الإجابة

IRR = 43,02%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation