الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
فترات01211 + EAR = ?15% / 2

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 15% سنويًا، تُركَّب الفائدة نصف سنويًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 15%m = 2
EAR = %
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…252€250€250€250FV = ?

تدّخر €250 في نهاية كل شهر لمدة 21 سنوات. يدفع الحساب 4,2% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2504,2% / 12N = 252
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات0123456€1 138C = ?C = ?C = ? + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 6 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 138 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 6P = €1 138YTM = 2,5%
c = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات012345€935€40€40 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 4% يستحق بعد 5 سنوات ويُباع بسعر €935. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 5P = €935
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = 8,35%حقوق الملكية€6 000 000re​ = ?الدين€4 000 000rd​ = 4%T = 28%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 ودين قيمته €4 000 000. WACC لديها 8,35%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4%، ومعدّل الضريبة 28%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re.

E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 8,35%rd = 4%T = 28%
re = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية1 000 000 × €16,00D0​ = €0,90g = 3%الدين€16 000 000rd​ = 4,5%T = 20%

لدى شركة 1 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €16,00؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €9 600 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €0,90 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 3% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €16 000 000 وتكلفته قبل الضريبة 4,5%. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 1 000 000P0 = €16,00حقوق الملكية الدفترية = €9 600 000D0 = €0,90g = 3%D = €16 000 000rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123…10€30 000€1 000€1 000€1 000€1 000r = 12%, EAC = ?

تبلغ تكلفة آلة €30 000 اليوم، وتعمل 10 سنوات وتكلّف €1 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 12%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C0 = €30 000M = €1 000n = 10r = 12%
EAC = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات01234−10 0004 0004 0004 0004 000

استثمار قدره €10 000 يعود بـ €4 000 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €10 000CF = €4 000n = 4
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 15,56 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,15/2 = 0,075

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,075)2 − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%

الإجابة

EAR = 15,56%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 100858 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·21 = 252

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(2,412 − 1)/0,0035 = €100 857,80

الإجابة

FV = €100 857,80

دفعتَ بنفسك €63 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 5,005 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,025)−6 = €862,30

الكوبون

C = (1138 − 862,30)/5,508 = €50,05

معدل الكوبون

c = 50,05/1000 = 5,005%

الإجابة

c = 5,005%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 5,523 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

الحل العددي

P(5%) = €956,71, P(6%) = €915,75
YTM = 5,523%

الإجابة

YTM = 5,523%
5.CAPM و WACC

الإجابة: re = 12 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

جزء الدين من WACC

0,4·4%·(1 − 0,28) = 1,152%

تكلفة حقوق الملكية

re = (8,35% − 1,152%)/0,6 = 12%

الإجابة

re = 12%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,197 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة حقوق الملكية

D1 = 0,9·1,03 = €0,93
re = 0,927/16 + 0,03 = 8,794%

القيم السوقية

E = 1 000 000·€16,00 = €16 000 000
V = €32 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8,794% + 0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 6,197%

الإجابة

WACC = 6,197%
7.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 6310 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,12−10)/0,12 = 5,65

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

30 000/5,65 = 5 309,52

EAC

EAC = 5 309,52 + 1 000 = €6 309,52

الإجابة

EAC = €6 309,52
8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 21,86 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−4)/i = 10 000/4 000 = 2,5

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 21%: 2,54
i = 22%: 2,494
IRR = 21,86%

الإجابة

IRR = 21,86%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation