الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…16PV = ?€1 000€1 000€1 000€1 000

تدفع سلسلة دفعات €1 000 في نهاية كل سنة لمدة 16 سنوات. معدّل الفائدة 10% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €1 000i = 10%n = 16
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…180€200 000AAAA2,4% / 12, I = ?

يُسدَّد قرض قدره €200 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 15 سنوات بمعدّل 2,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €200 0002,4% / 12N = 180
I = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 9 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 4%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 9%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 8,5%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 9y0 = 9%y1 = 8,5%
HPR = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات01234€970€80€80 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 4 سنوات ويُباع بسعر €970. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 4P = €970
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
βr (%)SMLrf​ = 4%β = 1rm​ = ?β = 1,2re​ = 12,4%

سهم معامل بيتا له 1,2 وعائده المطلوب 12,4%. المعدّل الخالي من المخاطر 4%. ما عائد السوق المتوقّع rm الذي يقتضيه CAPM؟

β = 1,2re = 12,4%rf = 4%
rm = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية€15 000 000re​ = 14%السندات2 000 × €1 041الكوبون 7%, n = 12T = 30%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €15 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 14%. يتكوّن دينها من 2 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 7%، 12 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €1 041. معدّل الضريبة 30%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €15 000 000re = 14%السندات: 2 000 × €1 041الكوبون = 7%n = 12T = 30%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات01234−30 00013 00010 00012 00015 000

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €13 000, €10 000, €12 000, €15 000. تكلفة رأس المال 7,000000000000001%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 7,000000000000001%CF0 = −30 000CF1 = 13 000CF2 = 10 000CF3 = 12 000CF4 = 15 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012−50 00034 00030 000

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €34 000, €30 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −50 000CF1 = 34 000CF2 = 30 000
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 7824 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2176)/0,1 = 7,824

القيمة الحالية

PV = 1 000·7,824 = €7 823,71

الإجابة

PV = €7 823,71
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 38353 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,002, N = 180
A = 200 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−180) = €1 324,18

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 180·1324 − 200 000 = €38 353,14

الإجابة

I = €38 353,14
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = 12,28 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €40,00, i = 0,09, N = 9
€40,00·(1 − 0,4604)/0,09 + €1 000·0,4604 = €239,81 + €460,43 = €700,24

سعر البيع

C = €40,00, i = 0,085, N = 8
€40,00·(1 − 0,5207)/0,085 + €1 000·0,5207 = €225,57 + €520,67 = €746,24

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (40 + 746,24 − 700,24)/700,24 = 12,28%

الإجابة

HPR = 12,28%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 8,924 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

الحل العددي

P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60
YTM = 8,924%

الإجابة

YTM = 8,924%
5.CAPM و WACC

الإجابة: rm = 11 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

rm − rf = (12,4% − 4%)/1,2 = 7%

عائد السوق

rm = 4% + 7% = 11%

الإجابة

rm = 11%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 12,85 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة الدين (YTM)

1041 = 70·(1 − (1 + y)−12)/y + 1000/(1 + y)12
y = 6,498%

القيم السوقية

D = 2 000·€1 041 = €2 082 000
V = €17 082 000, E/V = 0,8781, D/V = 0,1219

WACC

WACC = 0,8781·14% + 0,1219·6,498%·(1 − 0,3) = 12,85%

الإجابة

WACC = 12,85%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 12123 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 13 000/1,07 = 12 149,53
CF2/(1 + 0,07)2 = 10 000/1,145 = 8 734,39
CF3/(1 + 0,07)3 = 12 000/1,225 = 9 795,57
CF4/(1 + 0,07)4 = 15 000/1,311 = 11 443,43

اجمعها

NPV = €12 122,92

الإجابة

NPV = €12 122,92

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 18,59 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 2 249,53
NPV(20%) = −833,33

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·2 249,53/(2 249,53 − (−833,33)) = 18,65%
بالضبط: NPV(18,59%) = 0 → IRR = 18,59%

الإجابة

IRR = 18,59%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation