الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات01234567€3 000FV = ?

تستثمر €3 000 بمعدل اسمي 6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 7 سنوات.

PV = €3 0006% / 4n = 7
FV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…204A?AA€100 000

تريد €100 000 بعد 17 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 4,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €100 0004,2% / 12N = 204
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…10€35€35€35 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 5 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 4% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 7%YTM = 4%n = 5
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات01234P€70€70€70 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% ويستحق بعد 4 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 4YTM = 4%
D = سنوات
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?الأسهم العادية€12 000 000re​ = 14%الأسهم الممتازة€1 500 000rp​ = 6,5%الدين€6 000 000rd​ = 3%T = 20%

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €12 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 500 000، ودين قيمته €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 14%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6,5%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3%. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €12 000 000Ps = €1 500 000D = €6 000 000re = 14%rp = 6,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 1%, rm​ − rf​ = 5,5%بلا دينحقوق الملكيةβU​ = 1,2D/E = 0,4حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 25,8%

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 1,2. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,4. معدّل الضريبة 25,8%، والمعدّل الخالي من المخاطر 1%، وعلاوة مخاطر السوق 5,5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

βU = 1,2D/E = 0,4T = 25,8%rf = 1%rm − rf = 5,5%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات01234−30 00011 00012 0008 00013 000

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €11 000, €12 000, €8 000, €13 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 12 000CF3 = 8 000CF4 = 13 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012345−20 0005 0005 0005 0005 0005 000

استثمار قدره €20 000 يعود بـ €5 000 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €20 000CF = €5 000n = 5
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 4552 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,06/4 = 0,015
N = m·n = 4·7 = 28

القيمة المستقبلية

FV = 3 000·(1 + 0,015)28 = 3 000·1,517 = €4 551,67

الإجابة

FV = €4 551,67
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 336,7 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·17 = 204

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0,0035/(2,04 − 1) = €336,67

الإجابة

A = €336,67
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1135 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €35,00, i = 0,02, N = 10

القيمة الحالية للكوبونات

€35,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €314,39

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8203 = €820,35

السعر

P = €1 134,74

الإجابة

P = €1 134,74

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 3,645 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31
t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44
t = 3: 70/1,125 = 62,23, t·PV = 186,69
t = 4: 1070/1,17 = 914,64, t·PV = 3 658,56

المدة

P = 1 108,90
D = 4 042,00/1 108,90 = 3,645

الإجابة

D = 3,645 سنوات
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,854 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €19 500 000
E/V = 0,6154, Ps/V = 0,07692, D/V = 0,3077

WACC

WACC = 0,6154·14% + 0,07692·6,5% + 0,3077·3%·(1 − 0,2) = 9,854%

الإجابة

WACC = 9,854%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 9,559 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

βL = 1,2·(1 + 0,742·0,4) = 1,556

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 1% + 1,556·5,5% = 9,559%

الإجابة

re = 9,559%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 8071 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 11 000/1,06 = 10 377,36
CF2/(1 + 0,06)2 = 12 000/1,124 = 10 679,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
CF4/(1 + 0,06)4 = 13 000/1,262 = 10 297,22

اجمعها

NPV = €8 071,49

الإجابة

NPV = €8 071,49

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 7,931 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−5)/i = 20 000/5 000 = 4

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 7%: 4,1
i = 8%: 3,993
IRR = 7,931%

الإجابة

IRR = 7,931%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation