الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €2 000 في نهاية كل سنة لمدة 18 سنوات. معدّل الفائدة 10% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €2 000i = 10%n = 18

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €200 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 25 سنوات بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €200 0003,6% / 12N = 300

I = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 3 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 014 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 3P = €1 014YTM = 2,5%

c = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €1 040 بعائد حتى الاستحقاق 3% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 7,1 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 75 نقطة أساس.

P₀ = €1 040y = 3%D = 7,1Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €8 000 000 وديون قيمتها €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 8%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 500 000 من الأسهم بسعر €38,50 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 6% ومعدل الضريبة 20%. معامل بيتا للسهم 0,6، والمعدل الخالي من المخاطر 2%، وعائد السوق 7%. أوجد WACC.

β = 0,6r_f = 2%r_m = 7%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €60 000 اليوم ويعود بـ €22 500, €15 000, €13 000, €23 000, €13 000, €25 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 6. تكلفة رأس المال 12%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 500CF₂ = 15 000CF₃ = 13 000CF₄ = 23 000CF₅ = 13 000CF₆ = 25 000

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €6 000, €3 500, €3 500, €3 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 12%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 3 500CF₃ = 3 500CF₄ = 3 500

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 16403 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,1799)/0,1 = 8,201

القيمة الحالية

PV = 2 000·8,201 = €16 402,82

الإجابة

PV = €16 402,82

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 103602 €

الدفعة الشهرية

i = 0,003, N = 300

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 012,01

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 300·1012 − 200 000 = €103 601,63

الإجابة

I = €103 601,63

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 2,99 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,025)⁻³ = €928,60

الكوبون

C = (1014 − 928,60)/2,856 = €29,90

معدل الكوبون

c = 29,9/1000 = 2,99%

الإجابة

c = 2,99%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1094 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 7,1/1,03 = 6,893

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −6,893·(−0,0075) = 5,17%

P ≈ 1040·(1 + 0,0517) = €1 093,77

الإجابة

P = €1 093,77

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,821 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·7%·(1 − 0,25) = 6,821%

الإجابة

WACC = 6,821%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 4,939 %

القيم السوقية

E = 2 500 000·€38,50 = €96 250 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 0,6·5% = 5%

الأوزان

V = €138 250 000, E/V = 0,6962, D/V = 0,3038

WACC

WACC = 0,6962·5% + 0,3038·6%·(1 − 0,2) = 4,939%

الإجابة

WACC = 4,939%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 4,553 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 22 500/1,12 = 20 089,29 → Σ = 20 089,29

السنة 2: 15 000/1,254 = 11 957,91 → Σ = 32 047,19

السنة 3: 13 000/1,405 = 9 253,14 → Σ = 41 300,34

السنة 4: 23 000/1,574 = 14 616,92 → Σ = 55 917,25

السنة 5: 13 000/1,762 = 7 376,55 → Σ = 63 293,80

كسر السنة الأخيرة

DPB = 4 + 4 082,75/7 376,55 = 4,553

الإجابة

DPB = 4,553 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (3,413 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 19,28 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

6 000·1,12³ = 8 429,57

3 500·1,12² = 4 390,40

3 500·1,12¹ = 3 920,00

3 500·1,12⁰ = 3 500,00

TV = 20 239,97

MIRR

MIRR = (20 239,97/10 000)^1/4 − 1 = 19,28%

الإجابة

MIRR = 19,28%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation