الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€2 000+1,5%+1,5%…r = 4,5%

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €2 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 1,5% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 4,5% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C1 = €2 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر01…84…240€250 000AB = ?A6% / 12

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات بمعدّل 6% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 7؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €250 0006% / 12N = 240k = 84
B = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123456€30€30€30 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 7% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 6%YTM = 7%n = 3
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €985 بعائد حتى الاستحقاق 4% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 9,1 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 50 نقطة أساس.

P0 = €985y = 4%D = 9,1Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?الأسهم العادية€12 000 000re​ = 10%الأسهم الممتازة€500 000rp​ = 6%الدين€4 000 000rd​ = 4%T = 28%

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €12 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €500 000، ودين قيمته €4 000 000. تكلفة حقوق الملكية 10%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4%. معدّل الضريبة 28%. أوجد WACC.

E = €12 000 000Ps = €500 000D = €4 000 000re = 10%rp = 6%rd = 4%T = 28%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية€5 000 000re​ = 11%السندات2 000 × €977الكوبون 7%, n = 6T = 25%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €5 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 11%. يتكوّن دينها من 2 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 7%، 6 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €977. معدّل الضريبة 25%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €5 000 000re = 11%السندات: 2 000 × €977الكوبون = 7%n = 6T = 25%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات01234−30 00012 00013 0008 00014 000

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €12 000, €13 000, €8 000, €14 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 10%CF0 = −30 000CF1 = 12 000CF2 = 13 000CF3 = 8 000CF4 = 14 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123…9−100 00010 000+4%+4%+4%r = 10%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €100 000 اليوم. تدفقه النقدي €10 000 في نهاية السنة 1 وينمو بنسبة 4% سنويًا حتى آخر تدفق نقدي في نهاية السنة 9. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €100 000CF1 = €10 000g = 4%n = 9r = 10%
NPV = €

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 66667 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C1/(r − g) = 2 000/(0,045 − 0,015) = 2 000/0,03 = €66 666,67

الإجابة

PV = €66 666,67
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 193688 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,005, N = 240
A = 250 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−240) = €1 791,08

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 240 − 84 = 156
B = 1791·(1 − (1 + 0,005)−156)/0,005 = €193 687,92

الإجابة

B = €193 687,92
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 973,4 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €30,00, i = 0,035, N = 6

القيمة الحالية للكوبونات

€30,00·(1 − 0,8135)/0,035 = €159,86

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8135 = €813,50

السعر

P = €973,36

الإجابة

P = €973,36

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 941,9 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

المدة المعدَّلة

Dmod = 9,1/1,04 = 8,75

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −8,75·(0,005) = −4,375%
P ≈ 985·(1 − 0,04375) = €941,91

الإجابة

P = €941,91

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,153 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 12 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €16 500 000
E/V = 0,7273, Ps/V = 0,0303, D/V = 0,2424

WACC

WACC = 0,7273·10% + 0,0303·6% + 0,2424·4%·(1 − 0,28) = 8,153%

الإجابة

WACC = 8,153%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,488 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة الدين (YTM)

977 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1000/(1 + y)6
y = 7,49%

القيم السوقية

D = 2 000·€977 = €1 954 000
V = €6 954 000, E/V = 0,719, D/V = 0,281

WACC

WACC = 0,719·11% + 0,281·7,49%·(1 − 0,25) = 9,488%

الإجابة

WACC = 9,488%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 7226 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 12 000/1,1 = 10 909,09
CF2/(1 + 0,1)2 = 13 000/1,21 = 10 743,80
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
CF4/(1 + 0,1)4 = 14 000/1,464 = 9 562,19

اجمعها

NPV = €7 225,60

الإجابة

NPV = €7 225,60

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −33937 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لسلسلة الدفعات النامية

((1,04)/(1,1))9 = 0,6036
PV = 10 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6036) = 66 062,81

NPV

NPV = 66 062,81 − 100 000 = −€33 937,19

الإجابة

NPV = −€33 937,19

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation