الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
فترات01211 + EAR = ?25% / 2

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 25% سنويًا، تُركَّب الفائدة نصف سنويًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 25%m = 2
EAR = %
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…240€100€100€100FV = ?

تدّخر €100 في نهاية كل شهر لمدة 20 سنوات. يدفع الحساب 4,8% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €1004,8% / 12N = 240
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات0123…11€1 088C = ?C = ?C = ? + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 11 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 088 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 11P = €1 088YTM = 4%
c = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123P€20€20€20 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 2% ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 2%n = 3YTM = 2,5%
D = سنوات
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكيةEre​ = 14%الدينD = 0,6·Erd​ = 6%T = 21%

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 0,6. تكلفة حقوق ملكيتها 14%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 6%، ومعدّل الضريبة 21%. أوجد WACC.

D/E = 0,6re = 14%rd = 6%T = 21%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية2 000 000 × €43,50β = 0,9rf​ = 3,5%, rm​ = 10,5%الدين40 000 × €1 050rd​ = 5%T = 28%

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €43,50 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 28%. معامل بيتا للسهم 0,9، والمعدل الخالي من المخاطر 3,5%، وعائد السوق 10,5%. أوجد WACC.

β = 0,9rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 5%T = 28%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات01234567−50 0008 0008 0008 0008 0008 0008 00018 000

تبلغ تكلفة آلة €50 000 اليوم. تولّد €8 000 في نهاية كل سنة لمدة 7 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €10 000. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €50 000CF = €8 000S = €10 000n = 7r = 8%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012345−80 00019 00019 00019 00019 00019 000

استثمار قدره €80 000 يعود بـ €19 000 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €80 000CF = €19 000n = 5
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 26,56 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,25/2 = 0,125

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,125)2 − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%

الإجابة

EAR = 26,56%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 40168 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(2,607 − 1)/0,004 = €40 167,50

الإجابة

FV = €40 167,50

دفعتَ بنفسك €24 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 5,005 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,04)−11 = €649,58

الكوبون

C = (1088 − 649,58)/8,76 = €50,05

معدل الكوبون

c = 50,05/1000 = 5,005%

الإجابة

c = 5,005%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 2,941 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51
t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07
t = 3: 1020/1,077 = 947,17, t·PV = 2 841,51

المدة

P = 985,72
D = 2 899,10/985,72 = 2,941

الإجابة

D = 2,941 سنوات
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 10,53 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·14% + 0,375·6%·(1 − 0,21) = 10,53%

الإجابة

WACC = 10,53%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,781 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 2 000 000·€43,50 = €87 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 3,5% + 0,9·7% = 9,8%

الأوزان

V = €129 000 000, E/V = 0,6744, D/V = 0,3256

WACC

WACC = 0,6744·9,8% + 0,3256·5%·(1 − 0,28) = 7,781%

الإجابة

WACC = 7,781%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −2514 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

8 000·5,206 = 41 650,96

القيمة الحالية لقيمة الخردة

10 000/1,714 = 5 834,90

NPV

NPV = −50 000 + 41 650,96 + 5 834,90 = −€2 514,14

الإجابة

NPV = −€2 514,14
8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 6,016 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−5)/i = 80 000/19 000 = 4,211

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 6%: 4,212
i = 7%: 4,1
IRR = 6,016%

الإجابة

IRR = 6,016%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation