الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدل اسمي 4,8% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 5 سنوات.

PV = €2 0004,8% / 4n = 5

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تريد €10 000 بعد 16 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €10 0003% / 12N = 192

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 7 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 249 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 3%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 7P = €1 249YTM = 3%

c = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4,5% ويستحق بعد 5 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 4,5%n = 5YTM = 2,5%

D = سنوات

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 0,5. تكلفة حقوق ملكيتها 8%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 3,5%، ومعدّل الضريبة 21%. أوجد WACC.

D/E = 0,5r_e = 8%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 1,1. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,75. معدّل الضريبة 28%، والمعدّل الخالي من المخاطر 2%، وعلاوة مخاطر السوق 6%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

β_U = 1,1D/E = 0,75T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €8 000, €6 000, €10 000, €7 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 6 000CF₃ = 10 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €10 000 يعود بـ €2 500 في نهاية كل سنة لمدة 10 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 10

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2539 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·5 = 20

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·(1 + 0,012)²⁰ = 2 000·1,269 = €2 538,87

الإجابة

FV = €2 538,87

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 40,64 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·16 = 192

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,0025/(1,615 − 1) = €40,64

الإجابة

A = €40,64

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 6,997 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,03)⁻⁷ = €813,09

الكوبون

C = (1249 − 813,09)/6,23 = €69,97

معدل الكوبون

c = 69,97/1000 = 6,997%

الإجابة

c = 6,997%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 4,608 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 45/1,025 = 43,90, t·PV = 43,90

t = 2: 45/1,051 = 42,83, t·PV = 85,66

t = 3: 45/1,077 = 41,79, t·PV = 125,36

t = 4: 45/1,104 = 40,77, t·PV = 163,07

t = 5: 1045/1,131 = 923,63, t·PV = 4 618,14

المدة

P = 1 092,92

D = 5 036,14/1 092,92 = 4,608

الإجابة

D = 4,608 سنوات

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,255 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,21) = 6,255%

الإجابة

WACC = 6,255%

6.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 12,16 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

β_L = 1,1·(1 + 0,72·0,75) = 1,694

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 1,694·6% = 12,16%

الإجابة

r_e = 12,16%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −6508 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 8 000/1,12 = 7 142,86

CF₂/(1 + 0,12)² = 6 000/1,254 = 4 783,16

CF₃/(1 + 0,12)³ = 10 000/1,405 = 7 117,80

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 7 000/1,574 = 4 448,63

اجمعها

NPV = €−6 507,55

الإجابة

NPV = €−6 507,55

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 21,41 %

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 10 000/2 500 = 4

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 21%: 4,054

i = 22%: 3,923

IRR = 21,41%

الإجابة

IRR = 21,41%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation