الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123€12 000FV = ?

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 3 سنوات.

PV = €12 0004% / 4n = 3
FV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…48€8 000A?AAA

يُسدَّد قرض قدره €8 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 4 سنوات. معدل الفائدة 4,8% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €8 0004,8% / 12N = 48
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…14€40€40€40 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 8% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 6% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 8%YTM = 6%n = 7
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123€970€30€30 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 3% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €970. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 3%n = 3P = €970
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
βr (%)SMLrf​ = 2,5%β = 1rm​ = ?β = 0,8re​ = 6,5%

سهم معامل بيتا له 0,8 وعائده المطلوب 6,5%. المعدّل الخالي من المخاطر 2,5%. ما عائد السوق المتوقّع rm الذي يقتضيه CAPM؟

β = 0,8re = 6,5%rf = 2,5%
rm = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 3%, rm​ − rf​ = 7%بلا دينحقوق الملكيةβU​ = 1D/E = 1حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 28%

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 1. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 1. معدّل الضريبة 28%، والمعدّل الخالي من المخاطر 3%، وعلاوة مخاطر السوق 7%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

βU = 1D/E = 1T = 28%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات01234−20 0005 5008 5007 0008 000

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 اليوم ويعود بـ €5 500, €8 500, €7 000, €8 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. تكلفة رأس المال 12%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 5 500CF2 = 8 500CF3 = 7 000CF4 = 8 000
DPB = سنوات
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012−50 00028 50028 000

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €28 500, €28 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −50 000CF1 = 28 500CF2 = 28 000
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 13522 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,04/4 = 0,01
N = m·n = 4·3 = 12

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,01)12 = 12 000·1,127 = €13 521,90

الإجابة

FV = €13 521,90
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 183,5 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·4 = 48

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)−N = 0,8256
A = 8 000·0,004/(1 − 0,8256) = €183,51

الإجابة

A = €183,51
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1113 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €40,00, i = 0,03, N = 14

القيمة الحالية للكوبونات

€40,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €451,84

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6611 = €661,12

السعر

P = €1 112,96

الإجابة

P = €1 112,96

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 4,083 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€970 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(4%) = €972,25, P(5%) = €945,54
YTM = 4,083%

الإجابة

YTM = 4,083%
5.CAPM و WACC

الإجابة: rm = 7,5 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

rm − rf = (6,5% − 2,5%)/0,8 = 5%

عائد السوق

rm = 2,5% + 5% = 7,5%

الإجابة

rm = 7,5%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 15,04 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

βL = 1·(1 + 0,72·1) = 1,72

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 3% + 1,72·7% = 15,04%

الإجابة

re = 15,04%
7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,655 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 5 500/1,12 = 4 910,71 → Σ = 4 910,71
السنة 2: 8 500/1,254 = 6 776,15 → Σ = 11 686,86
السنة 3: 7 000/1,405 = 4 982,46 → Σ = 16 669,32
السنة 4: 8 000/1,574 = 5 084,14 → Σ = 21 753,47

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 3 330,68/5 084,14 = 3,655

الإجابة

DPB = 3,655 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,857 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 8,577 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(5%) = 2 539,68
NPV(10%) = −950,41

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 5 + 5·2 539,68/(2 539,68 − (−950,41)) = 8,638%
بالضبط: NPV(8,577%) = 0 → IRR = 8,577%

الإجابة

IRR = 8,577%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation