الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€8 000+2,5%+2,5%…r = 6,5%

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €8 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 2,5% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 6,5% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C1 = €8 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر01…132…240€150 000AB = ?A2,4% / 12

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €150 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات بمعدّل 2,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 11؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €150 0002,4% / 12N = 240k = 132
B = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات0123…12P€40€40€40 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4% ويستحق بعد 12 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 8% إلى 8,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 4%n = 12y1 = 8%y2 = 8,5%
ΔP = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €1 075 بعائد حتى الاستحقاق 4% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 3,8 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 25 نقطة أساس.

P0 = €1 075y = 4%D = 3,8Δy = −25 bp
P = €
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€3 000 000re​ = 13%الدين€5 000 000rd​ = 7%T = 28%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €3 000 000 وديون قيمتها €5 000 000. تكلفة حقوق الملكية 13%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 28%. أوجد WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000re = 13%rd = 7%T = 28%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية1 000 000 × €39,50β = 0,9rf​ = 3,5%, rm​ = 9,5%الدين10 000 × €1 000rd​ = 5%T = 30%

لدى شركة 1 000 000 من الأسهم بسعر €39,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 000. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 30%. معامل بيتا للسهم 0,9، والمعدل الخالي من المخاطر 3,5%، وعائد السوق 9,5%. أوجد WACC.

β = 0,9rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123456−30 0007 0007 0007 0007 0007 00011 500

تبلغ تكلفة آلة €30 000 اليوم. تولّد €7 000 في نهاية كل سنة لمدة 6 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €4 500. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €30 000CF = €7 000S = €4 500n = 6r = 12%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123−25 0009 50016 00015 500

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €9 500, €16 000, €15 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 16 000CF3 = 15 500
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 200000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C1/(r − g) = 8 000/(0,065 − 0,025) = 8 000/0,04 = €200 000,00

الإجابة

PV = €200 000,00
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 76430 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,002, N = 240
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−240) = €787,57

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 240 − 132 = 108
B = 787,6·(1 − (1 + 0,002)−108)/0,002 = €76 429,79

الإجابة

B = €76 429,79
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = −29,07 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €40,00, i = 0,08, N = 12
€40,00·(1 − 0,3971)/0,08 + €1 000·0,3971 = €301,44 + €397,11 = €698,56

السعر عند العائد الجديد

C = €40,00, i = 0,085, N = 12
€40,00·(1 − 0,3757)/0,085 + €1 000·0,3757 = €293,79 + €375,70 = €669,49

التغيّر

ΔP = 669,49 − 698,56 = −€29,07

الإجابة

ΔP = −€29,07
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1085 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

المدة المعدَّلة

Dmod = 3,8/1,04 = 3,654

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −3,654·(−0,0025) = 0,9135%
P ≈ 1075·(1 + 0,009135) = €1 084,82

الإجابة

P = €1 084,82

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,025 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·13% + 0,625·7%·(1 − 0,28) = 8,025%

الإجابة

WACC = 8,025%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,809 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 1 000 000·€39,50 = €39 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 3,5% + 0,9·6% = 8,9%

الأوزان

V = €49 500 000, E/V = 0,798, D/V = 0,202

WACC

WACC = 0,798·8,9% + 0,202·5%·(1 − 0,3) = 7,809%

الإجابة

WACC = 7,809%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 1060 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

7 000·4,111 = 28 779,85

القيمة الحالية لقيمة الخردة

4 500/1,974 = 2 279,84

NPV

NPV = −30 000 + 28 779,85 + 2 279,84 = €1 059,69

الإجابة

NPV = €1 059,69
8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 26,92 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(25%) = 776,00
NPV(30%) = −1 169,78

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 25 + 5·776,00/(776,00 − (−1 169,78)) = 26,99%
بالضبط: NPV(26,92%) = 0 → IRR = 26,92%

الإجابة

IRR = 26,92%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation