الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
فترات0123…1211 + EAR = ?16% / 12

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 16% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 16%m = 12
EAR = %
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…360€250 000A?AAA

يُسدَّد قرض قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات. معدل الفائدة 2,4% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €250 0002,4% / 12N = 360
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…16€40€40€40 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 8% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 8 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 9% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 8%YTM = 9%n = 8
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €1 010 بعائد حتى الاستحقاق 5% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 6,3 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 150 نقطة أساس.

P0 = €1 010y = 5%D = 6,3Δy = −150 bp
P = €
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€10 000 000re​ = 9%الدين€3 000 000rd​ = 3,5%T = 21%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €10 000 000 وديون قيمتها €3 000 000. تكلفة حقوق الملكية 9%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3,5%، ومعدل الضريبة 21%. أوجد WACC.

E = €10 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية4 000 000 × €31,00D0​ = €1,40g = 2%الدين€124 000 000rd​ = 3%T = 30%

لدى شركة 4 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €31,00؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €74 400 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €1,40 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 2% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €124 000 000 وتكلفته قبل الضريبة 3%. معدّل الضريبة 30%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 4 000 000P0 = €31,00حقوق الملكية الدفترية = €74 400 000D0 = €1,40g = 2%D = €124 000 000rd = 3%T = 30%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−60 00014 00028 00013 000

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €14 000, €28 000, €13 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 14 000CF2 = 28 000CF3 = 13 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123…9−150 00020 000+4%+4%+4%r = 8%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €150 000 اليوم. تدفقه النقدي €20 000 في نهاية السنة 1 وينمو بنسبة 4% سنويًا حتى آخر تدفق نقدي في نهاية السنة 9. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €150 000CF1 = €20 000g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 17,23 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,16/12 = 0,01333

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,01333)12 − 1 = 1,172 − 1 = 17,23%

الإجابة

EAR = 17,23%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 974,9 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·30 = 360

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)−N = 0,4871
A = 250 000·0,002/(1 − 0,4871) = €974,85

الإجابة

A = €974,85
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 943,8 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €40,00, i = 0,045, N = 16

القيمة الحالية للكوبونات

€40,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €449,36

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,4945 = €494,47

السعر

P = €943,83

الإجابة

P = €943,83

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1101 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

المدة المعدَّلة

Dmod = 6,3/1,05 = 6

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −6·(−0,015) = 9%
P ≈ 1010·(1 + 0,09) = €1 100,90

الإجابة

P = €1 100,90

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,561 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·9% + 0,2308·3,5%·(1 − 0,21) = 7,561%

الإجابة

WACC = 7,561%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 4,353 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة حقوق الملكية

D1 = 1,4·1,02 = €1,43
re = 1,428/31 + 0,02 = 6,606%

القيم السوقية

E = 4 000 000·€31,00 = €124 000 000
V = €248 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·6,606% + 0,5·3%·(1 − 0,3) = 4,353%

الإجابة

WACC = 4,353%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −10958 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 14 000/1,06 = 13 207,55
CF2/(1 + 0,06)2 = 28 000/1,124 = 24 919,90
CF3/(1 + 0,06)3 = 13 000/1,191 = 10 915,05

اجمعها

NPV = €−10 957,50

الإجابة

NPV = €−10 957,50

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −6005 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لسلسلة الدفعات النامية

((1,04)/(1,08))9 = 0,712
PV = 20 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,712) = 143 994,87

NPV

NPV = 143 994,87 − 150 000 = −€6 005,13

الإجابة

NPV = −€6 005,13

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation