تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 16 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 40 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 5,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 40η = 100%

T₂ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 5,5 kW بسرعة 1450 rpm يدير الترس A (45 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (60 سنًّا). الترس C (24 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (80 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 45B = 60C = 24D = 80η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 20 kW بسرعة 500 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 1° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = −30 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 160 MPa و σᵧ = 80 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 40° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 300 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 200 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 200 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 40 kNالجزء 1: Ø35 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 500 kg يحملها نابض جساءته 80 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 1010 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 500 kgk = 80 kN/mc = 1010 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 80 kN/m و k₂ = 60 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 45,28 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/303,7 = 18,11 N·m

عزم الخرج

T₂ = 18,11·40/16·1 = 45,28 N·m

الإجابة

T₂ = 45,28 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 145,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 1450·(45/60)·(24/80) = 326,3 rpm

ω_out = 2π·326,3/60 = 34,16 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 5500·0,95² = 4964 W

T_out = P_out/ω_out = 4964/34,16 = 145,3 N·m

الإجابة

T_out = 145,3 N·m

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 18,47 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·79522) = 0,3224 rad

φ = 0,3224·180/π = 18,47°

الإجابة

φ = 18,47°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 40,86 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 40,86 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(36,5, 40,86) = 40,86 mm

الإجابة

d = 40,86 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = 37,98 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 0 − −30) = 75,96°

الزاوية على العنصر

θ_p = 37,98°

الإجابة

θ_p = 37,98°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 67,86 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 120 + 40·0,1736 + −60·0,9848 = 67,86 MPa

الإجابة

σ_θ = 67,86 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,1394 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·3063 = 4,304 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 200000·300/4,304 × 10⁸ = 0,1394 mm

الإجابة

δ = 0,1394 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 353,7 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 353,7 MPa

الإجابة

σ_max = 353,7 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 7,106 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/5000² = 7106 N = 7,106 kN

الإجابة

P_cr = 7,106 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 19,28 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

الإجابة

σ_cr = 19,28 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,07985

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·500) = 12649 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 1010/12649 = 0,07985

الإجابة

ζ = 0,07985

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 11,91 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 60 = 140 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(140000/25) = 74,83 rad/s

f_n = 74,83/(2π) = 11,91 Hz

الإجابة

f_n = 11,91 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design