تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 2880 rpm بكرةً قطرها 450 mm بسير انزلاقه 2 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 450 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (24 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (25 سنًّا). الترس C (16 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (32 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 25C = 16D = 32

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 60 mm وطوله 2 m؛ والجزء BC قطره 25 mm وطوله 0,5 m. يؤثّر عزم التواء 400 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 15 kW بسرعة 1000 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,75 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 15 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 150 MPa، σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 60° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 10 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 10 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 5 kg يحملها نابض جساءته 12 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 50 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 5 kgk = 12 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 100 kN/m والسفلي k₂ = 10 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 627,2 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

2880·100/450 = 640 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 640·0,98 = 627,2 rpm

الإجابة

n₂ = 627,2 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 1392 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·24/25 = 2784 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2784·16/32 = 1392 rpm

الإجابة

n_out = 1392 rpm

النسبة الكلية = 2,083 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 12,88 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

التواء كل جزء

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 400000·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02418 rad

φ_BC = 400000·500/(26000·38350) = 0,2006 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,02418 + 0,2006 = 0,2248 rad = 12,88°

الإجابة

φ_C = 12,88°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 27,74 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·50·0,6836)) = 27,74 mm

d_i = 0,75·27,74 = 20,8 mm

الإجابة

d_o = 27,74 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 24,44 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 159,5 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 65 − 85·(−0,5) − (−60)·0,866 = 159,5 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −29,46 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 159,5 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −55 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −55·1 + −30·0 = −55 MPa

الإجابة

τ_θ = −55 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 5084 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1017/200000 = 0,005084 = 5084 µε

الإجابة

ε = 5084 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 54,71 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 100000·276460/402124 = 68750 N

الإجهاد

σ₂ = 68750/1257 = 54,71 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 54,71 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 313,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

الإجابة

P_cr = 313,9 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 46,33 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 46,33 mm

الإجابة

d = 46,33 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 215,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1021

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·5) = 489,9 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 50/489,9 = 0,1021

الإجابة

ζ = 0,1021

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,393 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9,091 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(9091/20) = 21,32 rad/s

f_n = 21,32/(2π) = 3,393 Hz

الإجابة

f_n = 3,393 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design