تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 12 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 20 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 20η = 95%

T₂ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (15 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1440 rpm ويدير الترس B (24 سنًّا). الترس C (32 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 600 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 1440 rpmA = 15B = 24C = 32n_out = 600 rpm

N_D =

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 10 kW عند 750 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 50 MPa، σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 35° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 600 mm وسُمك جداره 6 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,8 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 25° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 600 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 65 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 250 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 12 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 1,8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 1,8 mmn = 3

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 30 kN/m والسفلي k₂ = 30 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 30,24 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157,1 = 19,1 N·m

عزم الخرج

T₂ = 19,1·20/12·0,95 = 30,24 N·m

الإجابة

T₂ = 30,24 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 1440·15/24 = 900 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 32·900/600 = 48

الإجابة

N_D = 48

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,8979 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

الإجابة

φ = 0,8979°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 25,31 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

الإجابة

d = 25,31 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 99,67 MPa

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 45 − 5·0,342 − (−60)·0,9397 = 99,67 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −9,671 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 99,67 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 36,43 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 0,8·300/6 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 20·sin²25° + 40·cos²25° = 36,43 MPa

الإجابة

σ_n = 36,43 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,9196 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/200000 = 0,0004598 = 459,8 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0004598·2000 mm = 0,9196 mm

الإجابة

δ = 0,9196 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 631,2 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5027 = 6,943 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00125, 0,0009091) = 0,0009091 (البرونز)

أكبر حمل

P_max = 0,0009091·6,943 × 10⁸ = 631175 N = 631,2 kN

الإجابة

P_max = 631,2 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 313,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

الإجابة

P_cr = 313,9 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 4,318 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

الإجابة

σ_cr = 4,318 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1001

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(12/1,8) = 0,6324

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6324/√(39,48 + 0,3999) = 0,1001

الإجابة

ζ = 0,1001

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,082 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/30 → k_eq = 30·30/(30 + 30) = 15 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(15000/40) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

الإجابة

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design