تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 125 mm تدور بسرعة 960 rpm بكرةً قطرها 315 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 16 سنًّا ولكل ترس كوكبي 18 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1440 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي n_r (مقدارها).

N_s = 16N_p = 18n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 20 kW عند 300 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −30 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 40 mm يحمل عزم انحناء مقداره 200 N·m مع عزم التواء 400 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 400 N·m

τ_max = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 80 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 80 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 50 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 50 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 11,4 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 11,4 mmn = 4

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 5 kN/m و k₂ = 60 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 365,7 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

960·125/315 = 381 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 381·0,96 = 365,7 rpm

الإجابة

n₂ = 365,7 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_r = 443,1 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·18 = 52

معادلة ويليس مع تثبيت الحامل

مع n_c = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·16/52 = −443,1 rpm

|n_r| = 443,1 rpm

الإجابة

n_r = 443,1 rpm

تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,437 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

الإجابة

φ = 1,437°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 37,81 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

الإجابة

d = 37,81 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 36,06 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−30 − 10)/2)² + 30²) = 36,06 MPa

الإجابة

τ_max = 36,06 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 35,59 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 31,83²) = 35,59 MPa

الإجابة

τ_max = 35,59 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,07372 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 80000·600/6,511 × 10⁸ = 0,07372 mm

الإجابة

δ = 0,07372 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 44,23 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 100000·1,08 × 10⁶/1,244 × 10⁶ = 86842 N

الإجهاد

σ₂ = 86842/1963 = 44,23 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 44,23 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 55,56 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55,56 kN

الإجابة

P_cr = 55,56 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 61,1 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

الإجابة

d = 61,1 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 196,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04988

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(40/11,4) = 0,3138

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3138/√(39,48 + 0,09848) = 0,04988

الإجابة

ζ = 0,04988

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 9,073 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 60 = 65 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(65000/20) = 57,01 rad/s

f_n = 57,01/(2π) = 9,073 Hz

الإجابة

f_n = 9,073 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design