تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة
n1·N1 = n2·N2
العزم
T2 = T1·(N2/N1)·η
القدرة
P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة
النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي
ωn = √(g/δst)
التخميد الحرج
cc = 2√(km) = 2mωn
نسبة التخميد
ζ = c/cc
التردد المخمَّد
ωd = ωn√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي
k = k1 + k2
نوابض على التوالي
1/k = 1/k1 + 1/k2

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
N1​ = 30, m = 3 mm

محرّك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 30 سنًّا وموديول 3 mm. أوجد القوة المماسية Ft على أسنان الترس الصغير.

P = 5,5 kWn = 2900 rpmN1 = 30m = 3 mm
Ft = N
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
d1​ = 100 mmd2​ = 500 mm1500 rpmC = 1000 mmT1​ = 1200 NT2​P = ?

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1500 rpm وبكرة قطرها 500 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1200 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmd2 = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,25T1 = 1200 N
P = kW
3.التواء الأعمدةمتوسطة
do​ = ?T = 2000 N·m

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 2000 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,5 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي do.

T = 2000 N·mdi/do = 0,5τallow = 50 MPa
do = mm
4.التواء الأعمدةصعبة
Td = ?

يجب أن ينقل عمود مصمت 20 kW عند 1800 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = 90σy​ = 50τxy​ = 60MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 90 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σx = 90 MPaσy = 50 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​ = 50τxy​ = 40MPa

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 50 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). إجهاد خضوع المادة 300 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).

σx = 50 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPaσY = 300 MPa
n =
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
Ø 25 mmالألومنيوم1,5 mP = 45 kN

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
Ø 40 mmالألومنيوم2 mØ 16 mmالنحاس الأصفر1 mP = 10 kN

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.

P = 10 kNالجزء 1: Ø40 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 2,5 md = 25 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 125 kNL = 2 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 125 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 125 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
k = 100 kN/mζ = 0,7m = 2 kg

كتلة 2 kg على نابض جساءته 100 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 2 kgk = 100 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
k1​ = 100k2​ = 25m = 10 kg

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 100 kN/m و k₂ = 25 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: Ft = 402,5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 5500/303,7 = 18,11 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 3·30 = 90 mm

القوة المماسية

Ft = 2T/d = 2·18,11/0,09 = 402,5 N

الإجابة

Ft = 402,5 N
2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 4,673 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,739 rad

الشد في الجانب المرتخي

eμθ = e0,6847 = 1,983, T₂ = 1200/1,983 = 605,1 N

القدرة

P = (1200 − 605,1)·7,854 = 4,673 kW

الإجابة

P = 4,673 kW
3.التواء الأعمدة

الإجابة: do = 60,12 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·50·0,9375)) = 60,12 mm
di = 0,5·60,12 = 30,06 mm

الإجابة

do = 60,12 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 58,84 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 19,31 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·106103/(π·75)) = 19,31 mm

الإجابة

d = 19,31 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θp = 35,78 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

στxyCσ1​σ2​

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θp = atan2(2·60, 90 − 50) = 71,57°

الزاوية على العنصر

θp = 35,78°

الإجابة

θp = 35,78°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 3,18

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σY؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σY/2.

στxyCσ1​σ2​

الإجهادات الرئيسية

C = 25 MPa, R = 47,17 MPa
σ1 = 72,17 MPa, σ2 = −22,17 MPa, σ3 = 0

تريسكا

σmax − σmin = 94,34 MPa
n = 300/94,34 = 3,18

الإجابة

n = 3,18

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1310 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/70000 = 0,00131 = 1310 µε

الإجابة

ε = 1310 µε
8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σmax = 49,74 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 7,958 MPa
σ2 = 49,74 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σmax = 49,74 MPa

الإجابة

σmax = 49,74 MPa
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 24,22 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

الإجابة

Pcr = 24,22 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 81,55 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 81,55 mm

الإجابة

d = 81,55 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 98,1، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: fd = 25,42 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ωn = √(100000/2) = 223,6 rad/s
fn = 223,6/(2π) = 35,59 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

fd = fn·√(1 − ζ²) = 35,59·√(1 − 0,7²) = 25,42 Hz

الإجابة

fd = 25,42 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: fn = 17,79 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k1 + k2.

keq = 100 + 25 = 125 kN/m

التردد الطبيعي

ωn = √(125000/10) = 111,8 rad/s
fn = 111,8/(2π) = 17,79 Hz

الإجابة

fn = 17,79 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design