تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm بكرةً قطرها 450 mm بسير انزلاقه 1,5 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 450 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (24 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1440 rpm ويدير الترس B (48 سنًّا). الترس C (50 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 450 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 1440 rpmA = 24B = 48C = 50n_out = 450 rpm

N_D =

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم طوله 0,5 m يحمل عزم التواء 1000 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 1000 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 50 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 200 N·m عند C، على بعد 3 m من A و 1,2 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 100 MPa و σᵧ = 40 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 130 MPa؟

σ_x = 100 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 200 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 8 kg يحملها نابض جساءته 40 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 280 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 8 kgk = 40 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 15 kN/m و k₂ = 12 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 317,4 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

1450·100/450 = 322,2 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 322,2·0,985 = 317,4 rpm

الإجابة

n₂ = 317,4 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 1440·24/48 = 720 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 50·720/450 = 80

الإجابة

N_D = 80

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 52,3 mm

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·500/(26000·0,02618) = 734561 mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 52,3 mm

الإجابة

d = 52,3 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 0,6157 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,2/4,2 = 57,14 N·m

T_B = 200·3/4,2 = 142,9 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 57143·3000/(26000·613592) = 0,01075 rad = 0,6157°

الإجابة

φ_C = 0,6157°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 51,96 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (100 + 40)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 70 = 60 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 30²) = 51,96 MPa

الإجابة

τ_xy = 51,96 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −5,679 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−15·0,6428 + −20·0,766 = −5,679 MPa

الإجابة

τ_θ = −5,679 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 54,73 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,5/9,135 × 10⁻⁶ = 54735 N = 54,73 kN

الإجابة

P = 54,73 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 930 kN

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·8482 = 1,116 × 10⁹ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0008333) = 0,0008333 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0008333·1,116 × 10⁹ = 930042 N = 930 kN

الإجابة

P_max = 930 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 5,264 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/5000² = 5264 N = 5,264 kN

الإجابة

P_cr = 5,264 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 87,73 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

الإجابة

σ_cr = 87,73 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,2475

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·8) = 1131 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 280/1131 = 0,2475

الإجابة

ζ = 0,2475

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 27 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 12 = 27 kN/m

الإجابة

k_eq = 27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design