تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 150 mm تدور بسرعة 1440 rpm بكرةً قطرها 315 mm بسير انزلاقه 1 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 20 سنًّا ولكل ترس كوكبي 15 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1200 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 20N_p = 15n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 30 mm وطوله 0,5 m؛ والجزء BC قطره 25 mm وطوله 3 m. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 30 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند C، على بعد 1,5 m من A و 0,8 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 30 mmT₀ = 750 N·ma = 1,5 mb = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 50 mm يحمل قوة شد محورية مقدارها 60 kN مع عزم التواء 250 N·m. عند سطح العمود، أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

d = 50 mmF = 60 kNT = 250 N·m

τ_max = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 500 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 250 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 250 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 60 kNالجزء 1: Ø30 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 80 kg يحملها نابض جساءته 8 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 80 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 80 kgk = 8 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 60 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 678,9 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

1440·150/315 = 685,7 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 685,7·0,99 = 678,9 rpm

الإجابة

n₂ = 678,9 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 342,9 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·15 = 50

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −50/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·20/70 = 342,9 rpm

الإجابة

n_c = 342,9 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 18,62 °

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

التواء كل جزء

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·500/(26000·79522) = 0,02418 rad

φ_BC = 100000·3000/(26000·38350) = 0,3009 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,02418 + 0,3009 = 0,3251 rad = 18,62°

الإجابة

φ_C = 18,62°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 10,84 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·0,8/2,3 = 260,9 N·m

T_B = 750·1,5/2,3 = 489,1 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 260870·1500/(26000·79522) = 0,1893 rad = 10,84°

الإجابة

φ_C = 10,84°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 50,99 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−70 − 30)/2)² + 10²) = 50,99 MPa

الإجابة

τ_max = 50,99 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 18,36 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = 60000/(π·50²/4) = 60000/1963 = 30,56 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 15,28 MPa

R = √(15,28² + 10,19²) = 18,36 MPa

الإجابة

τ_max = 18,36 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,1253 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 250000·500/9,975 × 10⁸ = 0,1253 mm

الإجابة

δ = 0,1253 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,962 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 191 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84,88·2000/100000 = 1,698 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·2000/117000 = 3,265 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,962 mm

الإجابة

δ = 4,962 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 17,3 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

الإجابة

P_cr = 17,3 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 8,812 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

الإجابة

σ_cr = 8,812 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·80) = 1600 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 80/1600 = 0,05

الإجابة

ζ = 0,05

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 17,65 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/60 → k_eq = 25·60/(25 + 60) = 17,65 kN/m

الإجابة

k_eq = 17,65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design