تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 200 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 4 mm وتخفيض سرعة 3 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 200 mmm = 4 mmi = 3

N₂ =

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (24 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (20 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 24B = 60C = 15D = 20

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم طوله 0,8 m يحمل عزم التواء 1000 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 0,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 1000 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 30 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 30 MPa و σᵧ = −10 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 60 mm والطول 300 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس (القطر 30 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 80 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 45 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 45 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 8 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 1070 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 8 kgk = 100 kN/mc = 1070 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بالنابض k₃ = 50 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 40 kN/m و k₂ = 80 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 75

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·200/4 = 100

قسّم وفق النسبة

N₁ = 100/(1 + 3) = 25

N₂ = 3·25 = 75

الإجابة

N₂ = 75

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 435 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1450·24/60 = 580 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 580·15/20 = 435 rpm

الإجابة

n_out = 435 rpm

النسبة الكلية = 3,333 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 77,41 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·800/(26000·0,008727) = 3,526 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 77,41 mm

الإجابة

d = 77,41 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 13,17 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·30/869767 = 13,17 MPa

الإجابة

τ_max = 13,17 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −28,15 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 30 − −10) = −56,31°

الزاوية على العنصر

θ_p = −28,15°

الإجابة

θ_p = −28,15°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 116 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 120 + 20·0,766 + −30·0,6428 = 116 MPa

الإجابة

σ_θ = 116 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 54,37 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,25/4,598 × 10⁻⁶ = 54374 N = 54,37 kN

الإجابة

P = 54,37 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 72,76 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 80000·424115/659734 = 51429 N

الإجهاد

σ₂ = 51429/706,9 = 72,76 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 72,76 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 9,646 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

الإجابة

P_cr = 9,646 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 44,99 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 44,99 mm

الإجابة

d = 44,99 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 186,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,5981

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·8) = 1789 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 1070/1789 = 0,5981

الإجابة

ζ = 0,5981

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,728 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 40 + 80 = 120 kN/m

k_eq = 120·50/(120 + 50) = 35,29 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(35294/40) = 29,7 rad/s

f_n = 29,7/(2π) = 4,728 Hz

الإجابة

f_n = 4,728 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design