تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 200 mm تدور بسرعة 1450 rpm. الشد 1500 N في الجانب المشدود و300 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 500 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 500 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر طوله 1,5 m يحمل عزم التواء 750 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 0,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 750 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 75 kW عند 1000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 600 mm وسُمك جداره 8 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,2 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 25° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 600 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 85 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 2 kg يحملها نابض جساءته 2 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 20 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 2 kgk = 2 kN/mc = 20 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 40 kN/m و k₂ = 12 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 18,22 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 15,18 m/s

القدرة

P = (1500 − 300)·15,18 = 18221 W = 18,22 kW

الإجابة

P = 18,22 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 2,254 kW

زاوية الالتفاف

θ = 2,759 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,6898 = 1,993, T₂ = 500/1,993 = 250,8 N

القدرة

P = (500 − 250,8)·9,048 = 2,254 kW

الإجابة

P = 2,254 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 76,17 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1500/(39000·0,008727) = 3,306 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 76,17 mm

الإجابة

d = 76,17 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 9,256 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·37,5/2,902 × 10⁶ = 9,256 MPa

الإجابة

τ_max = 9,256 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −21,14 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 60 − −50) = −42,27°

الزاوية على العنصر

θ_p = −21,14°

الإجابة

θ_p = −21,14°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 40,98 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1,2·300/8 = 45 MPa

σ_a = pr/(2t) = 22,5 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 22,5·sin²25° + 45·cos²25° = 40,98 MPa

الإجابة

σ_n = 40,98 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,879 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113,1 = 751,6 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 751,6/200000 = 0,003758 = 3758 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,003758·500 mm = 1,879 mm

الإجابة

δ = 1,879 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 584,9 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8,042 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0007273) = 0,0007273 (البرونز)

أكبر حمل

P_max = 0,0007273·8,042 × 10⁸ = 584907 N = 584,9 kN

الإجابة

P_max = 584,9 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 89,96 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1000² = 89957 N = 89,96 kN

الإجابة

P_cr = 89,96 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 12,34 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

الإجابة

σ_cr = 12,34 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1581

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·2) = 126,5 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 20/126,5 = 0,1581

الإجابة

ζ = 0,1581

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,222 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 40 + 12 = 52 kN/m

k_eq = 52·12/(52 + 12) = 9,75 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(9750/50) = 13,96 rad/s

f_n = 13,96/(2π) = 2,222 Hz

الإجابة

f_n = 2,222 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design