تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 16 سنًّا وموديول 4 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 5,5 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 4 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 200 mm تدور بسرعة 1450 rpm وبكرة قطرها 315 mm؛ والمسافة بين المركزين 1200 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 315 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 500 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من النحاس الأصفر (قطره الخارجي 60 mm، وقطره الداخلي 36 mm، وطوله 0,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 2000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 2000 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 100 kW عند 1800 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 150 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −20 MPa، σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 420 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 25 kNالجزء 1: Ø35 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg على نابض جساءته 10 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,5. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 20 kgk = 10 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 25 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 80 kN/m و k₂ = 100 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 1710 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 5500/100,5 = 54,71 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 4·16 = 64 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·54,71/0,064 = 1710 N

الإجابة

F_t = 1710 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 4,547 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 3,046 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,9137 = 2,494, T₂ = 500/2,494 = 200,5 N

القدرة

P = (500 − 200,5)·15,18 = 4,547 kW

الإجابة

P = 4,547 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,327 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·1,107 × 10⁶) = 0,02315 rad

φ = 0,02315·180/π = 1,327°

الإجابة

φ = 1,327°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 13,34 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·30/1,193 × 10⁶ = 13,34 MPa

الإجابة

τ_max = 13,34 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 112,4 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((150 − −40)/2)² + 60²) = 112,4 MPa

الإجابة

τ_max = 112,4 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 3,601

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 10 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 68,31 MPa, σ₂ = −48,31 MPa, σ₃ = 0

تريسكا

σ_max − σ_min = 116,6 MPa

n = 420/116,6 = 3,601

الإجابة

n = 3,601

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 248,7 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/200000 = 0,0002487 = 248,7 µε

الإجابة

ε = 248,7 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,051 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 25,98·500/70000 = 0,1856 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·1500/100000 = 1,865 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,051 mm

الإجابة

δ = 2,051 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,18 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·3000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

الإجابة

P_cr = 2,18 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 9,064 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7,5 = 466,7

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/466,7² = 9,064 MPa

الإجابة

σ_cr = 9,064 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 3,082 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(10000/20) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,5²) = 3,082 Hz

الإجابة

f_d = 3,082 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,716 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 80 + 100 = 180 kN/m

k_eq = 180·25/(180 + 25) = 21,95 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(21951/25) = 29,63 rad/s

f_n = 29,63/(2π) = 4,716 Hz

الإجابة

f_n = 4,716 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design