التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
يمر سير على بكرة قائدة قطرها 80 mm تدور بسرعة 960 rpm. الشد 800 N في الجانب المشدود و160 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.
d1 = 80 mmn1 = 960 rpmT1 = 800 NT2 = 160 N
P = kW
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
محرّك قدرته 3 kW بسرعة 960 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (18 سنًّا). الترس C (36 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 98%. أوجد عزم الخرج Tout.
P = 3 kWnin = 960 rpmA = 12B = 18C = 36D = 48ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
يجب أن ينقل عمود مصمت 10 kW عند 750 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.
P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = 90 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 30° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σy′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.
σx = 90 MPaσy = 20 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 500 mm وسُمك جداره 6 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 20° عن محور الأسطوانة. أوجد مقدار إجهاد القص |τn| المؤثّر على امتداد درز اللحام.
D = 500 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 20°
|τn| = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.
P = 105 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 250 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 50 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل Pmax.
القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 30 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm
σcr = MPa
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 5 kg يحملها نابض جساءته 15 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 50 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.
m = 5 kgk = 15 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 20 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 50 kN/m و k₂ = 80 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: P = 2,574 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
سرعة السير
v = 4,021 m/s
القدرة
P = (800 − 160)·4,021 = 2574 W = 2,574 kW
الإجابة
P = 2,574 kW
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tout = 57,32 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة الخرج
nout = 960·(12/18)·(36/48) = 480 rpm
ωout = 2π·480/60 = 50,27 rad/s
قدرة الخرج والعزم
Pout = 3000·0,98² = 2881 W
Tout = Pout/ωout = 2881/50,27 = 57,32 N·m
الإجابة
Tout = 57,32 N·m
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 13,86 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·79522) = 0,2418 rad
φ = 0,2418·180/π = 13,86°
الإجابة
φ = 13,86°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 22,11 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m
القطر من الإجهاد المسموح
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm
الإجابة
d = 22,11 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σy′ = −5,801 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل للوجه y′
σy′ = 55 − 35·0,5 − 50·0,866 = −5,801 MPa
تحقّق
مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.
σx′ = 115,8 MPa, σx′ + σy′ = 110 = σx + σy
الإجابة
σy′ = −5,801 MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: |τn| = 10,04 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σh = pr/t والإجهاد المحوري σa = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.
إجهادات الجدار
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1,5·250/6 = 62,5 MPa
σa = pr/(2t) = 31,25 MPa
التحويل إلى الدرز
خذ x على امتداد المحور (σa) و y على امتداد المحيط (σh). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.
|τn| = (62,5 − 31,25)·sin 20°·cos 20° = 10,04 MPa
الإجابة
|τn| = 10,04 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 6,963 mm
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
الإجهاد
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa
الانفعال (قانون هوك)
E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 928,4/200000 = 0,004642 = 4642 µε
الاستطالة
δ = ε·L = 0,004642·1500 mm = 6,963 mm
الإجابة
δ = 6,963 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: Pmax = 292,2 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N
الانفعال الحاكم
ε = min(0,00125, 0,0004167) = 0,0004167 (النحاس)
أكبر حمل
Pmax = 0,0004167·7,014 × 10⁸ = 292234 N = 292,2 kN
الإجابة
Pmax = 292,2 kN
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 27,47 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 1·1000 = 1000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27,47 kN
الإجابة
Pcr = 27,47 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 1,079 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa
الإجابة
σcr = 1,079 MPa
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: ζ = 0,09129
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التخميد الحرج
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·5) = 547,7 N·s/m
نسبة التخميد
ζ = c/cc = 50/547,7 = 0,09129
الإجابة
ζ = 0,09129
ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 4,685 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
k1 و k2 فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k3، لذا ادمجهما بالمقلوبات.
k12 = 50 + 80 = 130 kN/m
keq = 130·20/(130 + 20) = 17,33 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(17333/20) = 29,44 rad/s
fn = 29,44/(2π) = 4,685 Hz
الإجابة
fn = 4,685 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design