تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 93,75 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 2,5 mm وتخفيض سرعة 1,5 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 93,75 mmm = 2,5 mmi = 1,5

N₂ =

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 125 mm وبكرة قطرها 250 mm والمسافة بين مركزيهما 1200 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 125 mmd₂ = 250 mmC = 1200 mm

θ = °

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ طوله 0,8 m يحمل عزم التواء 500 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 3°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 500 N·mL = 0,8 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 15 kW بسرعة 1000 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,8 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 15 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −50 MPa و σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 80 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 130 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 130 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 8 kg على نابض جساءته 5 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 8 kgk = 5 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 60 kN/m و k₂ = 60 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 45

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·93,75/2,5 = 75

قسّم وفق النسبة

N₁ = 75/(1 + 1,5) = 30

N₂ = 1,5·30 = 45

الإجابة

N₂ = 45

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 174 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,05208) = 2,986°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·2,986 = 174°

الإجابة

θ = 174°

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 31,4 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·800/(80000·0,05236) = 95493 mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 31,4 mm

الإجابة

d = 31,4 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 25,45 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·75·0,5904)) = 25,45 mm

d_i = 0,8·25,45 = 20,36 mm

الإجابة

d_o = 25,45 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 21,35 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 18,03 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((60 − 30)/2)² + 10²) = 18,03 MPa

الإجابة

τ_max = 18,03 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −13,76 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −5 + −45·0,766 + 40·0,6428 = −13,76 MPa

الإجابة

σ_θ = −13,76 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2089 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490,9 = 244,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 244,5/117000 = 0,002089 = 2089 µε

الإجابة

ε = 2089 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,579 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/200000 = 0,4775 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·1500/117000 = 5,101 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,579 mm

الإجابة

δ = 5,579 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 86,82 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

الإجابة

P_cr = 86,82 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 184,2 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 184,2 mm

الإجابة

d = 184,2 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 217,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 2,841 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(5000/8) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,979·√(1 − 0,7²) = 2,841 Hz

الإجابة

f_d = 2,841 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 120 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 60 = 120 kN/m

الإجابة

k_eq = 120 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design