تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1500 rpm. الشد 500 N في الجانب المشدود و150 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 500 NT₂ = 150 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (15 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 960 rpm ويدير الترس B (45 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 160 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 960 rpmA = 15B = 45C = 25n_out = 160 rpm

N_D =

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 12 mm بعزم 75 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 250 mm بزاوية 13,53° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13,53°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 30 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 1 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 0,5 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 35 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 65 kNالجزء 1: Ø35 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg على نابض جساءته 15 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 15 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 20 kN/m والسفلي k₂ = 15 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 2,749 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 7,854 m/s

القدرة

P = (500 − 150)·7,854 = 2749 W = 2,749 kW

الإجابة

P = 2,749 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 960·15/45 = 320 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 25·320/160 = 50

الإجابة

N_D = 50

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 39 GPa

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 13,53·π/180 = 0,2361 rad

معامل القص

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0,2361) = 39003 MPa

G = 39 GPa

الإجابة

G = 39 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 31,44 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1/1,5 = 166,7 N·m

T_B = 250·0,5/1,5 = 83,33 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τ_max = 16·166667/(π·30³) = 31,44 MPa

الإجابة

τ_max = 31,44 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −22,5 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 80 − 60) = −45°

الزاوية على العنصر

θ_p = −22,5°

الإجابة

θ_p = −22,5°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 115 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 65 + −55·0 + −50·−1 = 115 MPa

الإجابة

σ_θ = 115 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,57 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002228·2500 mm = 5,57 mm

الإجابة

δ = 5,57 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 206,9 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 206,9 MPa

الإجابة

σ_max = 206,9 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 248,1 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

الإجابة

P_cr = 248,1 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 2,999 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

الإجابة

σ_cr = 2,999 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 5,649 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(15000/10) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,4²) = 5,649 Hz

الإجابة

f_d = 5,649 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 8,571 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/15 → k_eq = 20·15/(20 + 15) = 8,571 kN/m

الإجابة

k_eq = 8,571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design