تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm بكرةً قطرها 200 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 200 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 30 سنًّا ولكل ترس كوكبي 20 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1440 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 30N_p = 20n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 100 kW عند 750 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −70 MPa، σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 60° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 150 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 35° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 300 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 300 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 300 kNالقضيب: Ø30 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 60 mm والطول 300 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 80 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 135 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 135 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg على نابض جساءته 10 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 20 kgk = 10 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 5 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 25 kN/m و k₂ = 15 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 696 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

1450·100/200 = 725 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 725·0,96 = 696 rpm

الإجابة

n₂ = 696 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 432 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·20 = 70

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −70/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·30/100 = 432 rpm

الإجابة

n_c = 432 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 16,83 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·15708) = 0,2938 rad

φ = 0,2938·180/π = 16,83°

الإجابة

φ = 16,83°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 47,63 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·60)) = 47,63 mm

الإجابة

d = 47,63 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −20,18 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = −5 − (−65)·(−0,5) − (−20)·0,866 = −20,18 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 10,18 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −20,18 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −83,71 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −100·0,9397 + 30·0,342 = −83,71 MPa

الإجابة

τ_θ = −83,71 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,07126 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·9346 = 1,263 × 10⁹ N

الانضغاط

δ = 300000·300/1,263 × 10⁹ = 0,07126 mm

الإجابة

δ = 0,07126 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 19,45 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 80000·1,037 × 10⁶/1,508 × 10⁶ = 55000 N

الإجهاد

σ₂ = 55000/2827 = 19,45 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 19,45 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 94,2 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

الإجابة

P_cr = 94,2 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 59,81 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 59,81 mm

الإجابة

d = 59,81 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 117، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 3,178 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(10000/20) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,45²) = 3,178 Hz

الإجابة

f_d = 3,178 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 1,501 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 25 + 15 = 40 kN/m

k_eq = 40·5/(40 + 5) = 4,444 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(4444/50) = 9,428 rad/s

f_n = 9,428/(2π) = 1,501 Hz

الإجابة

f_n = 1,501 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design