تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 1 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 1450 rpm وتدير عجلة دودية لها 30 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 1N_w = 30n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 4 kW بسرعة 1450 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (36 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 4 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 36C = 18D = 72η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الألومنيوم (قطره الخارجي 40 mm، وقطره الداخلي 24 mm، وطوله 1,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 200 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 200 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 30 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند B على بعد 2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 1000 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 1,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa و σᵧ = −30 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 95 MPa؟

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 25° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 300 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 200 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 200 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 100 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 135 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 135 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 3,3 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 3,3 mmn = 4

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 12 kN/m و k₂ = 50 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 48,33 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 1450·1/30 = 48,33 rpm

الإجابة

n_w = 48,33 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 285,3 N·m

سرعة الخرج

n_out = 1450·(12/36)·(18/72) = 120,8 rpm

ω_out = 2π·120,8/60 = 12,65 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 4000·0,95² = 3610 W

T_out = P_out/ω_out = 3610/12,65 = 285,3 N·m

الإجابة

T_out = 285,3 N·m

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 3,022 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

زاوية الالتواء

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·1500/(26000·218755) = 0,05275 rad

φ = 0,05275·180/π = 3,022°

الإجابة

φ = 3,022°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 207,5 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 100 = 1100 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 1100 N·m

τ_max = 16·1,1 × 10⁶/(π·30³) = 207,5 MPa

الإجابة

τ_max = 207,5 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 66,14 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (60 + (−30))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 15 = 80 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 45²) = 66,14 MPa

الإجابة

τ_xy = 66,14 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −69,21 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −40·0,766 + −60·0,6428 = −69,21 MPa

الإجابة

τ_θ = −69,21 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,08042 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5890 = 7,461 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 200000·300/7,461 × 10⁸ = 0,08042 mm

الإجابة

δ = 0,08042 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 497,4 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 497,4 MPa

الإجابة

σ_max = 497,4 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 4,606 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4,606 kN

الإجابة

P_cr = 4,606 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 54,05 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 54,05 mm

الإجابة

d = 54,05 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 129,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,08031

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(25/3,3) = 0,5062

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5062/√(39,48 + 0,2563) = 0,08031

الإجابة

ζ = 0,08031

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 7,926 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 50 = 62 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(62000/25) = 49,8 rad/s

f_n = 49,8/(2π) = 7,926 Hz

الإجابة

f_n = 7,926 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design