تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 125 mm تدور بسرعة 960 rpm بكرةً قطرها 200 mm بسير انزلاقه 2,5 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 200 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (18 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1440 rpm الترسَ B (24 سنًّا). الترس C (40 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1440 rpmA = 18B = 24C = 40D = 72

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 20 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند B على بعد 1,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 400 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 1,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 20 mmT_B = 100 N·mT_C = 400 N·mAB = 1,5 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 500 mm وسُمك جداره 5 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 35° عن محور الأسطوانة. أوجد مقدار إجهاد القص |τ_n| المؤثّر على امتداد درز اللحام.

D = 500 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 70 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 300 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 300 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 55 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg على نابض جساءته 25 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,5. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 25 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 20 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 585 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

960·125/200 = 600 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 600·0,975 = 585 rpm

الإجابة

n₂ = 585 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 600 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1440·18/24 = 1080 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1080·40/72 = 600 rpm

الإجابة

n_out = 600 rpm

النسبة الكلية = 2,4 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 22,17 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

الإجابة

φ = 22,17°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 254,6 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 100 = 300 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

الإجابة

τ_max = 254,6 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 53,15 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−70 − 0)/2)² + 40²) = 53,15 MPa

الإجابة

τ_max = 53,15 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: |τ_n| = 17,62 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,5·250/5 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 35°·cos 35° = 17,62 MPa

الإجابة

|τ_n| = 17,62 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,3076 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 300000·600/5,851 × 10⁸ = 0,3076 mm

الإجابة

δ = 0,3076 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 175,1 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 175,1 MPa

الإجابة

σ_max = 175,1 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 62,01 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

الإجابة

P_cr = 62,01 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 4,318 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

الإجابة

σ_cr = 4,318 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 6,892 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(25000/10) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,5²) = 6,892 Hz

الإجابة

f_d = 6,892 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,373 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/20 → k_eq = 25·20/(25 + 20) = 11,11 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(11111/50) = 14,91 rad/s

f_n = 14,91/(2π) = 2,373 Hz

الإجابة

f_n = 2,373 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design